Sucesiones y seriesÁlgebraUniversidad≈ 2:36

Evalúa la suma de 1/n² desde n=1 hasta ∞

Una lección animada paso a paso. Pulsa Reproducir para ver cada paso con subtítulos, o lee los pasos y la transcripción abajo. Respuesta: La serie converge (prueba de comparación del límite con Σ 1/n^2); suma ≈ 1.644934067 (coincide con π²/6 a 10+ dígitos).

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Pasos en pantalla

1. El problema
Ejemplo resuelto
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{n}^{2}}$
2. Paso a paso
1. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{n}^{2}}$
  Escribir la serie
2. $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{{n}^{2}} = 0$
  Criterio del término general
3. $\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1/n^{2}} = 1$
  Comparación por paso al límite con una serie p
4. Estimar la suma numéricamente
3. La respuesta
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{n}^{2}} \ \text{converge} \approx 1.644934067$
limit comparison with Σ 1/n^2 ⇒ converges, S ≈ 1.644934067 (matches π²/6 to 10+ digits)
4. Comprobación
- Sumas parciales (indicio, no demostración): S₁₀ = 1.5497677, S₁₀₀ = 1.6349839, S₁₀₀₀ = 1.6439346, S₁₀₀₀₀ = 1.6448341

Transcripción

El problema. Este es el problema: Evalúa la suma de 1/n al cuadrado desde n es igual a 1 hasta infinito. Determinar si Σ 1 / n al cuadrado (n desde 1 hasta ∞) converge o diverge.

Paso a paso. Escribir la serie. Σ a(n) para n es igual a 1, 2, 3, … con a(n) es igual a 1 / n al cuadrado. Primeros términos: 1, 0.25, 0.111111, 0.0625, …. Criterio del término general. lim a(n) es igual a 0, así que el criterio de divergencia no es concluyente; los términos sí disminuyen, de modo que hace falta un criterio más fino. Comparación por paso al límite con una serie p. Términos positivos: los términos disminuyen aproximadamente como 1/n al cuadrado (estimado a partir de a(2N)/a(N)), así que se compara con Σ 1/n al cuadrado: lim a(n) por n al cuadrado es igual a 1. El límite es un número positivo finito, así que la serie se comporta exactamente como la serie p Σ 1/n al cuadrado, que converge porque p mayor que 1. Estimar la suma numéricamente. Se calcularon las sumas parciales S N para varios N y se extrapolaron a N → ∞ (extrapolación de Richardson; con términos alternados se promedian primero). Dos extrapolaciones independientes coinciden en menos de 10 elevado a menos 10, dando S aproximadamente 1.644934067. Cualquier forma cerrada mostrada es una identificación numérica, no una demostración.

La respuesta. Entonces, la respuesta es La serie converge (prueba de comparación del límite con Σ 1/n al cuadrado); suma aproximadamente 1.644934067 (coincide con pi al cuadrado/6 a 10 más dígitos). Una serie converge cuando sus sumas parciales tienden a un número finito. Para ello los términos deben tender a 0, pero eso solo no basta (la serie armónica diverge), así que se decide con un criterio de comparación, del cociente, de la raíz, de Leibniz o de la integral.

Comprobación. Sumas parciales (indicio, no demostración): S₁₀ es igual a 1.5497677, S₁₀₀ es igual a 1.6349839, S₁₀₀₀ es igual a 1.6439346, S₁₀₀₀₀ es igual a 1.6448341.

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