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Resolver un problema
LímitesCálculoUniversidad≈ 2:19

Halla lim x→0 (1 - cos(2x))/x²

Una lección animada paso a paso. Pulsa Reproducir para ver cada paso con subtítulos, o lee los pasos y la transcripción abajo. Respuesta: Límite = 2.

Vídeo grabado: la voz y el texto en la imagen están en inglés. Subtítulos: Español. Para la narración en este idioma, abre la versión interactiva.

Video en inglés: Descargar MP4 (0.9 MB) · Subtítulos (WebVTT): Español · Subtítulos en inglés (WebVTT)

Pasos en pantalla

  1. 1. El problema
    Ejemplo resuelto
    lim⁡x→01−cos⁡(2x)x2\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos\left(2x\right)}{{x}^{2}}
  2. 2. Pasos, parte 1
    1. lim⁡x→01−cos⁡(2x)x2=lim⁡x→02sin⁡(2x)2x\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos\left(2x\right)}{{x}^{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{2\sin\left(2x\right)}{2x}
      Indeterminación 0/0: aplicar la regla de L'Hôpital
    2. lim⁡x→02sin⁡(2x)2x=lim⁡x→0sin⁡(2x)x\lim_{x \to 0} \frac{2\sin\left(2x\right)}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin\left(2x\right)}{x}
      Simplificar
    3. lim⁡x→0sin⁡(2x)x=lim⁡x→02cos⁡(2x)1\lim_{x \to 0} \frac{\sin\left(2x\right)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{2\cos\left(2x\right)}{1}
      Indeterminación 0/0: aplicar la regla de L'Hôpital
    4. lim⁡x→02cos⁡(2x)1=lim⁡x→02cos⁡(2x)\lim_{x \to 0} \frac{2\cos\left(2x\right)}{1} = \lim_{x \to 0} 2\cos\left(2x\right)
      Simplificar
  3. 3. Pasos, parte 2
    1. lim⁡x→02cos⁡(2x)=2cos⁡(2(0))=2\lim_{x \to 0} 2\cos\left(2x\right) = 2\cos\left(2\left(0\right)\right) = 2
      Sustitución directa
  4. 4. La respuesta
    lim⁡x→01−cos⁡(2x)x2=2\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos\left(2x\right)}{{x}^{2}} = 2

    lim x→0 (1 - cos(2x)) / x² = 2

  5. 5. Comprobación
    • Valores numéricos desde la derecha: f(0.01) = 1.9999333, f(0.001) = 1.9999993, f(0.0001) = 2, f(0.00001) = 2.0000002 (sin tendencia clara con esta precisión)
    • Valores numéricos desde la izquierda: f(-0.01) = 1.9999333, f(-0.001) = 1.9999993, f(-0.0001) = 2, f(-0.00001) = 2.0000002 (sin tendencia clara con esta precisión)

Transcripción

El problema. Este es el problema: Halla lim x- mayor que 0 (1 menos cos(2x))/x al cuadrado. Hallar el límite de (1 menos cos(2x)) / x al cuadrado cuando x → 0.

Pasos, parte 1. Indeterminación 0 entre 0: aplicar la regla de L prima Hôpital. Deriva el numerador y el denominador por separado (no es la regla del cociente). Simplificar. Indeterminación 0 entre 0: aplicar la regla de L prima Hôpital. Deriva el numerador y el denominador por separado (no es la regla del cociente). Simplificar.

Pasos, parte 2. Sustitución directa. La expresión es continua en x es igual a 0, así que el límite es igual a su valor en ese punto.

La respuesta. Entonces, la respuesta es Límite es igual a 2. Un límite describe el valor al que se acerca una función, no necesariamente el valor que toma. Cuando la sustitución da una indeterminación, la expresión se reescribe (regla de L prima Hôpital, conjugado o logaritmos) hasta que la sustitución funciona.

Comprobación. Valores numéricos desde la derecha: f(0.01) es igual a 1.9999333, f(0.001) es igual a 1.9999993, f(0.0001) es igual a 2, f(0.00001) es igual a 2.0000002 (sin tendencia clara con esta precisión). Valores numéricos desde la izquierda: f(menos 0.01) es igual a 1.9999333, f(menos 0.001) es igual a 1.9999993, f(menos 0.0001) es igual a 2, f(menos 0.00001) es igual a 2.0000002 (sin tendencia clara con esta precisión).

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