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Resolver un problema
LímitesCálculoUniversidad≈ 2:11

Halla lim x→0 (e^(3x)-1)/sin(x)

Una lección animada paso a paso. Pulsa Reproducir para ver cada paso con subtítulos, o lee los pasos y la transcripción abajo. Respuesta: Límite = 3.

Vídeo grabado: la voz y el texto en la imagen están en inglés. Subtítulos: Español. Para la narración en este idioma, abre la versión interactiva.

Video en inglés: Descargar MP4 (0.8 MB) · Subtítulos (WebVTT): Español · Subtítulos en inglés (WebVTT)

Pasos en pantalla

  1. 1. El problema
    Ejemplo resuelto
    lim⁡x→0e3x−1sin⁡(x)\lim_{x \to 0} \frac{{e}^{3x}-1}{\sin\left( x\right)}
  2. 2. Paso a paso
    1. lim⁡x→0e3x−1sin⁡(x)=lim⁡x→03e3xcos⁡(x)\lim_{x \to 0} \frac{{e}^{3x}-1}{\sin\left( x\right)} = \lim_{x \to 0} \frac{3{e}^{3x}}{\cos\left( x\right)}
      Indeterminación 0/0: aplicar la regla de L'Hôpital
    2. lim⁡x→03e3xcos⁡(x)=3e3(0)cos⁡(0)=3\lim_{x \to 0} \frac{3{e}^{3x}}{\cos\left( x\right)} = \frac{3{e}^{3\left(0\right)}}{\cos\left(0\right)} = 3
      Sustitución directa
  3. 3. La respuesta
    lim⁡x→0e3x−1sin⁡(x)=3\lim_{x \to 0} \frac{{e}^{3x}-1}{\sin\left( x\right)} = 3

    lim x→0 (e^(3x) - 1) / sin(x) = 3

  4. 4. Comprobación
    • Los valores numéricos por la derecha coinciden: f(0.01) = 3.0455042, f(0.001) = 3.004505, f(0.0001) = 3.0004501, f(0.00001) = 3.000045 ✓
    • Los valores numéricos por la izquierda coinciden: f(-0.01) = 2.9554959, f(-0.001) = 2.995505, f(-0.0001) = 2.99955, f(-0.00001) = 2.999955 ✓

Transcripción

El problema. Este es el problema: Halla lim x- mayor que 0 (e elevado a 3x menos 1)/sin(x). Calcular el límite de (e elevado a 3x menos 1) / sin(x) cuando x → 0.

Paso a paso. Indeterminación 0 entre 0: aplicar la regla de L prima Hôpital. Deriva el numerador y el denominador por separado (no es la regla del cociente). Sustitución directa. La expresión es continua en x es igual a 0, así que el límite es igual a su valor en ese punto.

La respuesta. Entonces, la respuesta es Límite es igual a 3. Un límite describe el valor al que se acerca una función, no necesariamente el valor que toma. Cuando la sustitución da una indeterminación, la expresión se reescribe (regla de L prima Hôpital, conjugado o logaritmos) hasta que la sustitución funciona.

Comprobación. Los valores numéricos por la derecha coinciden: f(0.01) es igual a 3.0455042, f(0.001) es igual a 3.004505, f(0.0001) es igual a 3.0004501, f(0.00001) es igual a 3.000045, y se cumple. Los valores numéricos por la izquierda coinciden: f(menos 0.01) es igual a 2.9554959, f(menos 0.001) es igual a 2.995505, f(menos 0.0001) es igual a 2.99955, f(menos 0.00001) es igual a 2.999955, y se cumple.

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