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Resolver un problema
LímitesCálculoUniversidad≈ 1:50

Halla lim x→∞ x sin(1/x)

Una lección animada paso a paso. Pulsa Reproducir para ver cada paso con subtítulos, o lee los pasos y la transcripción abajo. Respuesta: Límite = 1.

Vídeo grabado: la voz y el texto en la imagen están en inglés. Subtítulos: Español. Para la narración en este idioma, abre la versión interactiva.

Video en inglés: Descargar MP4 (0.6 MB) · Subtítulos (WebVTT): Español · Subtítulos en inglés (WebVTT)

Pasos en pantalla

  1. 1. El problema
    Ejemplo resuelto
    lim⁡x→∞xsin⁡(1x)\lim_{x \to \infty} x \sin\left(\frac{1}{x}\right)
  2. 2. Paso a paso
    1. lim⁡x→∞xsin⁡(1x)=lim⁡x→∞sin⁡(1x)1x\lim_{x \to \infty} x \sin\left(\frac{1}{x}\right) = \lim_{x \to \infty} \frac{\sin\left(\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}}
      Indeterminación 0·∞: reescribir como cociente
    2. lim⁡x→∞sin⁡(1x)1x=lim⁡x→∞−cos⁡(1x)x2−1x2\lim_{x \to \infty} \frac{\sin\left(\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{-\frac{\cos\left(\frac{1}{x}\right)}{{x}^{2}}}{-\frac{1}{{x}^{2}}}
      Indeterminación 0/0: aplicar la regla de L'Hôpital
    3. lim⁡x→∞−cos⁡(1x)x2−1x2=lim⁡x→∞cos⁡(1x)\lim_{x \to \infty} \frac{-\frac{\cos\left(\frac{1}{x}\right)}{{x}^{2}}}{-\frac{1}{{x}^{2}}} = \lim_{x \to \infty} \cos\left(\frac{1}{x}\right)
      Simplificar
    4. lim⁡x→∞cos⁡(1x)=lim⁡t→0cos⁡(t)=1\lim_{x \to \infty} \cos\left(\frac{1}{x}\right) = \lim_{t \to 0} \cos\left(\mathrm{t}\right) = 1
      Sustituir x = 1/t (t → 0⁺)
  3. 3. La respuesta
    lim⁡x→∞xsin⁡(1x)=1\lim_{x \to \infty} x \sin\left(\frac{1}{x}\right) = 1

    lim x→∞ x sin(1 / x) = 1

  4. 4. Comprobación
    • Los valores numéricos al crecer x coinciden: f(127.18281) = 0.9999897, f(1271.8281) = 0.9999999, f(12718.281) = 1, f(127182.81) = 1 ✓

Transcripción

El problema. Este es el problema: Halla lim x- mayor que infinito x sin(1/x). Calcular el límite de x sin(1 / x) cuando x → ∞.

Paso a paso. Indeterminación 0 por ∞: reescribir como cociente. Al pasar un factor al denominador como su inverso, 0 por ∞ se convierte en 0 entre 0 o ∞/∞. Indeterminación 0 entre 0: aplicar la regla de L prima Hôpital. Deriva el numerador y el denominador por separado (no es la regla del cociente). Simplificar. Sustituir x es igual a 1/t (t → 0 elevado a más ).

La respuesta. Entonces, la respuesta es Límite es igual a 1. Un límite describe el valor al que se acerca una función, no necesariamente el valor que toma. Cuando la sustitución da una indeterminación, la expresión se reescribe (regla de L prima Hôpital, conjugado o logaritmos) hasta que la sustitución funciona.

Comprobación. Los valores numéricos al crecer x coinciden: f(127.18281) es igual a 0.9999897, f(1271.8281) es igual a 0.9999999, f(12718.281) es igual a 1, f(127182.81) es igual a 1, y se cumple.

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