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Resolver un problema
LímitesCálculoUniversidad≈ 2:35

Halla lim x→0 (cos(x)-1)/x

Una lección animada paso a paso. Pulsa Reproducir para ver cada paso con subtítulos, o lee los pasos y la transcripción abajo. Respuesta: Límite = 0.

Vídeo grabado: la voz y el texto en la imagen están en inglés. Subtítulos: Español. Para la narración en este idioma, abre la versión interactiva.

Video en inglés: Descargar MP4 (0.9 MB) · Subtítulos (WebVTT): Español · Subtítulos en inglés (WebVTT)

Pasos en pantalla

  1. 1. El problema
    Ejemplo resuelto
    lim⁡x→0cos⁡(x)−1x\lim_{x \to 0} \frac{\cos\left( x\right)-1}{x}
  2. 2. Paso a paso
    1. lim⁡x→0cos⁡(x)−1x=lim⁡x→0−sin⁡(x)1\lim_{x \to 0} \frac{\cos\left( x\right)-1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{-\sin\left( x\right)}{1}
      Indeterminación 0/0: aplicar la regla de L'Hôpital
    2. lim⁡x→0−sin⁡(x)1=lim⁡x→0−sin⁡(x)\lim_{x \to 0} \frac{-\sin\left( x\right)}{1} = \lim_{x \to 0} -\sin\left( x\right)
      Simplificar
    3. lim⁡x→0−sin⁡(x)=−sin⁡(0)=0\lim_{x \to 0} -\sin\left( x\right) = -\sin\left(0\right) = 0
      Sustitución directa
  3. 3. La respuesta
    lim⁡x→0cos⁡(x)−1x=0\lim_{x \to 0} \frac{\cos\left( x\right)-1}{x} = 0

    lim x→0 (cos(x) - 1) / x = 0

  4. 4. Comprobación
    • Los valores numéricos por la derecha coinciden: f(0.01) = -0.0049999583, f(0.001) = -0.00049999996, f(0.0001) = -0.00005, f(0.00001) = -0.0000050000004 ✓
    • Los valores numéricos por la izquierda coinciden: f(-0.01) = 0.0049999583, f(-0.001) = 0.00049999996, f(-0.0001) = 0.00005, f(-0.00001) = 0.0000050000004 ✓

Transcripción

El problema. Este es el problema: Halla lim x- mayor que 0 (cos(x) menos 1)/x. Calcular el límite de (cos(x) menos 1) / x cuando x → 0.

Paso a paso. Indeterminación 0 entre 0: aplicar la regla de L prima Hôpital. Deriva el numerador y el denominador por separado (no es la regla del cociente). Simplificar. Sustitución directa. La expresión es continua en x es igual a 0, así que el límite es igual a su valor en ese punto.

La respuesta. Entonces, la respuesta es Límite es igual a 0. Un límite describe el valor al que se acerca una función, no necesariamente el valor que toma. Cuando la sustitución da una indeterminación, la expresión se reescribe (regla de L prima Hôpital, conjugado o logaritmos) hasta que la sustitución funciona.

Comprobación. Los valores numéricos por la derecha coinciden: f(0.01) es igual a menos 0.0049999583, f(0.001) es igual a menos 0.00049999996, f(0.0001) es igual a menos 0.00005, f(0.00001) es igual a menos 0.0000050000004, y se cumple. Los valores numéricos por la izquierda coinciden: f(menos 0.01) es igual a 0.0049999583, f(menos 0.001) es igual a 0.00049999996, f(menos 0.0001) es igual a 0.00005, f(menos 0.00001) es igual a 0.0000050000004, y se cumple.

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