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Resolver un problema
LímitesCálculoUniversidad≈ 2:09

Halla lim x→1 ln(x)/(x-1)

Una lección animada paso a paso. Pulsa Reproducir para ver cada paso con subtítulos, o lee los pasos y la transcripción abajo. Respuesta: Límite = 1.

Vídeo grabado: la voz y el texto en la imagen están en inglés. Subtítulos: Español. Para la narración en este idioma, abre la versión interactiva.

Video en inglés: Descargar MP4 (0.8 MB) · Subtítulos (WebVTT): Español · Subtítulos en inglés (WebVTT)

Pasos en pantalla

  1. 1. El problema
    Ejemplo resuelto
    lim⁡x→1ln⁡(x)x−1\lim_{x \to 1} \frac{\ln\left( x\right)}{x-1}
  2. 2. Paso a paso
    1. lim⁡x→1ln⁡(x)x−1=lim⁡x→11x1\lim_{x \to 1} \frac{\ln\left( x\right)}{x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{1}
      Indeterminación 0/0: aplicar la regla de L'Hôpital
    2. lim⁡x→11x1=lim⁡x→11x\lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{1} = \lim_{x \to 1} \frac{1}{x}
      Simplificar
    3. lim⁡x→11x=11=1\lim_{x \to 1} \frac{1}{x} = \frac{1}{1} = 1
      Sustitución directa
  3. 3. La respuesta
    lim⁡x→1ln⁡(x)x−1=1\lim_{x \to 1} \frac{\ln\left( x\right)}{x-1} = 1

    lim x→1 ln(x) / (x - 1) = 1

  4. 4. Comprobación
    • Los valores numéricos por la derecha coinciden: f(1.01) = 0.99503309, f(1.001) = 0.99950033, f(1.0001) = 0.99995, f(1.00001) = 0.999995 ✓
    • Los valores numéricos por la izquierda coinciden: f(0.99) = 1.0050336, f(0.999) = 1.0005003, f(0.9999) = 1.00005, f(0.99999) = 1.000005 ✓

Transcripción

El problema. Este es el problema: Halla lim x- mayor que 1 ln(x)/(x menos 1). Calcular el límite de ln(x) / (x menos 1) cuando x → 1.

Paso a paso. Indeterminación 0 entre 0: aplicar la regla de L prima Hôpital. Deriva el numerador y el denominador por separado (no es la regla del cociente). Simplificar. Sustitución directa. La expresión es continua en x es igual a 1, así que el límite es igual a su valor en ese punto.

La respuesta. Entonces, la respuesta es Límite es igual a 1. Un límite describe el valor al que se acerca una función, no necesariamente el valor que toma. Cuando la sustitución da una indeterminación, la expresión se reescribe (regla de L prima Hôpital, conjugado o logaritmos) hasta que la sustitución funciona.

Comprobación. Los valores numéricos por la derecha coinciden: f(1.01) es igual a 0.99503309, f(1.001) es igual a 0.99950033, f(1.0001) es igual a 0.99995, f(1.00001) es igual a 0.999995, y se cumple. Los valores numéricos por la izquierda coinciden: f(0.99) es igual a 1.0050336, f(0.999) es igual a 1.0005003, f(0.9999) es igual a 1.00005, f(0.99999) es igual a 1.000005, y se cumple.

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