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Resolver un problema
LímitesCálculoUniversidad≈ 2:07

Halla lim x→∞ e^(-x) x³

Una lección animada paso a paso. Pulsa Reproducir para ver cada paso con subtítulos, o lee los pasos y la transcripción abajo. Respuesta: Límite = 0.

Vídeo grabado: la voz y el texto en la imagen están en inglés. Subtítulos: Español. Para la narración en este idioma, abre la versión interactiva.

Video en inglés: Descargar MP4 (0.7 MB) · Subtítulos (WebVTT): Español · Subtítulos en inglés (WebVTT)

Pasos en pantalla

  1. 1. El problema
    Ejemplo resuelto
    lim⁡x→∞e−xx3\lim_{x \to \infty} {e}^{- x} {x}^{3}
  2. 2. Pasos, parte 1
    1. lim⁡x→∞e−xx3=lim⁡x→∞x3ex\lim_{x \to \infty} {e}^{- x} {x}^{3} = \lim_{x \to \infty} \frac{{x}^{3}}{{e}^{x}}
      Indeterminación 0·∞: reescribir como cociente
    2. lim⁡x→∞x3ex=lim⁡x→∞3x2ex\lim_{x \to \infty} \frac{{x}^{3}}{{e}^{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{3{x}^{2}}{{e}^{x}}
      Indeterminación ∞/∞: aplicar la regla de L'Hôpital
    3. lim⁡x→∞3x2ex=lim⁡x→∞6xex\lim_{x \to \infty} \frac{3{x}^{2}}{{e}^{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{6x}{{e}^{x}}
      Indeterminación ∞/∞: aplicar la regla de L'Hôpital
    4. lim⁡x→∞6xex=lim⁡x→∞6xex\lim_{x \to \infty} \frac{6x}{{e}^{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{6x}{{e}^{x}}
      Simplificar
  3. 3. Pasos, parte 2
    1. lim⁡x→∞6xex=lim⁡x→∞6ex\lim_{x \to \infty} \frac{6x}{{e}^{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{6}{{e}^{x}}
      Indeterminación ∞/∞: aplicar la regla de L'Hôpital
    2. lim⁡x→∞6ex=lim⁡x→∞6ex\lim_{x \to \infty} \frac{6}{{e}^{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{6}{{e}^{x}}
      Simplificar
    3. lim⁡x→∞6ex=0\lim_{x \to \infty} \frac{6}{{e}^{x}} = 0
      Numerador acotado sobre un denominador no acotado
  4. 4. La respuesta
    lim⁡x→∞e−xx3=0\lim_{x \to \infty} {e}^{- x} {x}^{3} = 0

    lim x→∞ e^(-x) x³ = 0

  5. 5. Comprobación
    • Los valores numéricos al crecer x coinciden: f(127.18281) = 0, f(1271.8281) = 0, f(12718.281) = 0, f(127182.81) = 0 ✓

Transcripción

El problema. Este es el problema: Halla lim x- mayor que infinito e elevado a menos x x al cubo. Calcular el límite de e elevado a menos x x al cubo cuando x → ∞.

Pasos, parte 1. Indeterminación 0 por ∞: reescribir como cociente. Al pasar un factor al denominador como su inverso, 0 por ∞ se convierte en 0 entre 0 o ∞/∞. Indeterminación ∞/∞: aplicar la regla de L prima Hôpital. Deriva el numerador y el denominador por separado (no es la regla del cociente). Indeterminación ∞/∞: aplicar la regla de L prima Hôpital. Deriva el numerador y el denominador por separado (no es la regla del cociente). Simplificar.

Pasos, parte 2. Indeterminación ∞/∞: aplicar la regla de L prima Hôpital. Deriva el numerador y el denominador por separado (no es la regla del cociente). Simplificar. Numerador acotado sobre un denominador no acotado. El numerador tiende a 6 y el denominador crece sin cota, así que el cociente tiende a 0.

La respuesta. Entonces, la respuesta es Límite es igual a 0. Un límite describe el valor al que se acerca una función, no necesariamente el valor que toma. Cuando la sustitución da una indeterminación, la expresión se reescribe (regla de L prima Hôpital, conjugado o logaritmos) hasta que la sustitución funciona.

Comprobación. Los valores numéricos al crecer x coinciden: f(127.18281) es igual a 0, f(1271.8281) es igual a 0, f(12718.281) es igual a 0, f(127182.81) es igual a 0, y se cumple.

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