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Resolver un problema
Identidades trigonométricasTrigonometríaBachillerato≈ 1:16

¿Es (1 - cos(x))(1 + cos(x)) = sin(x)² una identidad?

Una lección animada paso a paso. Pulsa Reproducir para ver cada paso con subtítulos, o lee los pasos y la transcripción abajo. Respuesta: La identidad es verdadera (para cada valor donde ambos lados están definidos)..

Vídeo grabado: la voz y el texto en la imagen están en inglés. Subtítulos: Español. Para la narración en este idioma, abre la versión interactiva.

Video en inglés: Descargar MP4 (0.5 MB) · Subtítulos (WebVTT): Español · Subtítulos en inglés (WebVTT)

Pasos en pantalla

  1. 1. El problema
    Ejemplo resuelto
    (1−cos⁡(x))(1+cos⁡(x))=sin⁡(x)2\left(1-\cos\left( x\right)\right) \left(1+\cos\left( x\right)\right) = {\sin\left( x\right)}^{2}
  2. 2. Pasos, parte 1
    1. Reescribir todo en función de sin x y cos x
    2. sin⁡2x\sin^{2} x
      Primer miembro en senos y cosenos
    3. sin⁡2x\sin^{2} x
      Segundo miembro en senos y cosenos
    4. miembro izquierdo−miembro derecho=ND,N=−cos⁡2x−sin⁡2x+1\text{miembro izquierdo} - \text{miembro derecho} = \frac{N}{D},\quad N = -\cos^{2} x - \sin^{2} x + 1
      Restar los miembros y escribir la diferencia con denominador común
  3. 3. Pasos, parte 2
    1. N=0N = 0
      Sustituir cada cos²x por 1 − sin²x y agrupar términos
    2. El numerador es idénticamente cero
  4. 4. La respuesta
    (1−cos⁡(x))(1+cos⁡(x))≡sin⁡(x)2\left(1-\cos\left( x\right)\right) \left(1+\cos\left( x\right)\right) \equiv {\sin\left( x\right)}^{2}

    LHS − RHS reduces to 0

  5. 5. Comprobación
    • Comprobación numérica en 10 valores de muestra: ambos miembros coinciden.

Transcripción

El problema. Este es el problema: ¿Es (1 menos cos(x))(1 más cos(x)) es igual a sin(x) al cuadrado una identidad? Demostrar una identidad trigonométrica.

Pasos, parte 1. Reescribir todo en función de sin x y cos x. La expresión ya usa solo senos y cosenos. Primer miembro en senos y cosenos. Segundo miembro en senos y cosenos. Restar los miembros y escribir la diferencia con denominador común. La identidad es cierta exactamente cuando este numerador vale cero para todo valor de la variable.

Pasos, parte 2. Sustituir cada cos al cuadradox por 1 menos sin al cuadradox y agrupar términos. El numerador es idénticamente cero. Todos los términos se cancelan al usar sin al cuadrado más cos al cuadrado es igual a 1, así que ambos miembros son iguales allí donde están definidos.

La respuesta. Entonces, la respuesta es La identidad es verdadera (para cada valor donde ambos lados están definidos). Tras reescribir ambos miembros con seno y coseno y sustituir cos al cuadrado por 1 menos sin al cuadrado, la diferencia entre los dos miembros es exactamente 0, así que (1 menos cos(x))(1 más cos(x)) es igual a sin(x) al cuadrado se cumple para todo x en el que ambos miembros están definidos.

Comprobación. Comprobación numérica en 10 valores de muestra: ambos miembros coinciden.

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