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Resolver un problema
Ecuaciones trigonométricasTrigonometríaBachillerato≈ 1:34

Resolver 2sin(x)² - sin(x) - 1 = 0

Una lección animada paso a paso. Pulsa Reproducir para ver cada paso con subtítulos, o lee los pasos y la transcripción abajo. Respuesta: x = π/2 + 2πk, x = 7π/6 + 2πk, x = 11π/6 + 2πk (k cualquier número entero).

Vídeo grabado: la voz y el texto en la imagen están en inglés. Subtítulos: Español. Para la narración en este idioma, abre la versión interactiva.

Video en inglés: Descargar MP4 (0.6 MB) · Subtítulos (WebVTT): Español · Subtítulos en inglés (WebVTT)

Pasos en pantalla

  1. 1. El problema
    Ejemplo resuelto
    2 sin⁡(x)2−sin⁡(x)−1=02~{\sin\left( x\right)}^{2}-\sin\left( x\right)-1 = 0
  2. 2. Pasos, parte 1
    1. 2 sin⁡(x)2−sin⁡(x)−1=02~{\sin\left( x\right)}^{2}-\sin\left( x\right)-1 = 0
      Partir de la ecuación
    2. f(x)=2 sin⁡(x)2−(sin⁡(x)+1)=0f(x) = 2~{\sin\left( x\right)}^{2}-\left(\sin\left( x\right)+1\right) = 0
      Reescribir como f(x) = 0
    3. El lado izquierdo se repite cada 2π, así que hallar las soluciones en un periodo
    4. x=π2, x=7π6, x=11π6x = \frac{\pi}{2},\ x = \frac{7\pi}{6},\ x = \frac{11\pi}{6}
      Soluciones en un periodo [0, 2π)
  3. 3. Pasos, parte 2
    1. x=π2+2πk,x=7π6+2πk,x=11π6+2πk,k∈Zx = \frac{\pi}{2} + 2\pi k,\quad x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k,\quad x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi k,\quad k \in \mathbb{Z}
      Sumar cualquier número entero de periodos
  4. 4. La respuesta
    x=π2+2πk, x=7π6+2πk, x=11π6+2πk, k∈Zx = \frac{\pi}{2} + 2\pi k,\ x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k,\ x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}

    x = π/2 + 2πk, x = 7π/6 + 2πk, x = 11π/6 + 2πk (k any integer)

  5. 5. Comprobación
    • x = 1.5707963: primer miembro = 0, segundo miembro = 0 ✓
    • x = 3.6651914: primer miembro = 0, segundo miembro = 0 ✓
    • x = 5.7595865: primer miembro = 0, segundo miembro = 0 ✓

Transcripción

El problema. Este es el problema: 2sin(x) al cuadrado menos sin(x) menos 1 es igual a 0. Una ecuación periódica en x: tiene infinitas soluciones, una familia por cada solución en un solo periodo.

Pasos, parte 1. Partir de la ecuación. Reescribir como f(x) es igual a 0. El lado izquierdo se repite cada 2pi, así que hallar las soluciones en un periodo. f(x más 2pi) es igual a f(x) para todo x, así que cada solución es una de las soluciones en [0, 2pi) más un número entero de periodos. Soluciones en un periodo [0, 2pi).

Pasos, parte 2. Sumar cualquier número entero de periodos.

La respuesta. Entonces, la respuesta es x es igual a pi/2 más 2pik, x es igual a 7pi/6 más 2pik, x es igual a 11pi/6 más 2pik (k cualquier número entero). Cada solución en un periodo se encontró numéricamente, se comparó con un valor exacto y se confirmó mediante sustitución; añadir periodos completos da todas las soluciones.

Comprobación. x es igual a 1.5707963: primer miembro es igual a 0, segundo miembro es igual a 0, y se cumple. x es igual a 3.6651914: primer miembro es igual a 0, segundo miembro es igual a 0, y se cumple. x es igual a 5.7595865: primer miembro es igual a 0, segundo miembro es igual a 0, y se cumple.

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