Ecuaciones trigonométricasTrigonometríaBachillerato≈ 1:43

Resolver cos(x) = sin(x)

Una lección animada paso a paso. Pulsa Reproducir para ver cada paso con subtítulos, o lee los pasos y la transcripción abajo. Respuesta: x = π/4 + 2πk, x = 5π/4 + 2πk (k cualquier número entero).

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Pasos en pantalla

1. El problema
Ejemplo resuelto
$\cos\left( x\right) = \sin\left( x\right)$
2. Pasos, parte 1
1. $\cos\left( x\right) = \sin\left( x\right)$
  Partir de la ecuación
2. $f(x) = \cos\left( x\right)-\sin\left( x\right) = 0$
  Reescribir como f(x) = 0
3. El lado izquierdo se repite cada 2π, así que hallar las soluciones en un periodo
4. $x = \frac{\pi}{4},\ x = \frac{5\pi}{4}$
  Soluciones en un periodo [0, 2π)
3. Pasos, parte 2
1. $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k,\quad x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k,\quad k \in \mathbb{Z}$
  Sumar cualquier número entero de periodos
4. La respuesta
$x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k,\ x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}$
x = π/4 + 2πk, x = 5π/4 + 2πk (k any integer)
5. Comprobación
- x = 0.78539816: primer miembro = 0.70710678, segundo miembro = 0.70710678 ✓
- x = 3.9269908: primer miembro = -0.70710678, segundo miembro = -0.70710678 ✓

Transcripción

El problema. Este es el problema: cos(x) es igual a sin(x). Una ecuación periódica en x: tiene infinitas soluciones, una familia por cada solución en un solo periodo.

Pasos, parte 1. Partir de la ecuación. Reescribir como f(x) es igual a 0. El lado izquierdo se repite cada 2pi, así que hallar las soluciones en un periodo. f(x más 2pi) es igual a f(x) para todo x, así que cada solución es una de las soluciones en [0, 2pi) más un número entero de periodos. Soluciones en un periodo [0, 2pi).

Pasos, parte 2. Sumar cualquier número entero de periodos.

La respuesta. Entonces, la respuesta es x es igual a pi/4 más 2pik, x es igual a 5pi/4 más 2pik (k cualquier número entero). Cada solución en un periodo se encontró numéricamente, se comparó con un valor exacto y se confirmó mediante sustitución; añadir periodos completos da todas las soluciones.

Comprobación. x es igual a 0.78539816: primer miembro es igual a 0.70710678, segundo miembro es igual a 0.70710678, y se cumple. x es igual a 3.9269908: primer miembro es igual a menos 0.70710678, segundo miembro es igual a menos 0.70710678, y se cumple.

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