مشتقحساباندانشگاه≈ 1:42

مشتق (arctan(x²+x+1))(ln(eˣ+1))

یک درس متحرک گام‌به‌گام. برای دیدن هر گام با زیرنویس، پخش را بزنید یا گام‌ها و متن کامل را در پایین بخوانید. پاسخ: f'(x) = (2x + 1)·ln(e^x + 1) / ((x² + x + 1)² + 1) + atan(x² + x + 1)·e^x / (e^x + 1).

سرعتزبان

فصل‌ها

متن درس

ویدیو ضبط‌شده: صدا و نوشته‌های داخل تصویر به زبان انگلیسی هستند. زیرنویس: فارسی. برای شنیدن روایت به این زبان، نسخه تعاملی را باز کنید.

ویدیوی انگلیسی: دانلود MP4 (0.7 MB) · زیرنویس (WebVTT): فارسی · زیرنویس انگلیسی (WebVTT)

گام‌ها روی صفحه

1. مسئله
مثال حل‌شده
$\frac{d}{dx}\left[\tan^{-1}\left({x}^{2}+ x+1\right) \ln\left({e}^{x}+1\right)\right]$
2. گام‌ها، بخش 1
1. $\frac{d}{dx}\left[\tan^{-1}\left({x}^{2}+ x+1\right) \ln\left({e}^{x}+1\right)\right] = \frac{\left(2x+1\right) \ln\left({e}^{x}+1\right)}{{\left({x}^{2}+ x+1\right)}^{2}+1}+\frac{\tan^{-1}\left({x}^{2}+ x+1\right) {e}^{x}}{{e}^{x}+1}$
  قاعدهٔ ضرب: (uv)′ = u′v + uv′
2. $\frac{d}{dx}\left[\ln\left({e}^{x}+1\right)\right] = \frac{{e}^{x}}{{e}^{x}+1}$
  قاعدهٔ زنجیره‌ای: d/dx[ln u] = u′/u
3. $\frac{d}{dx}\left[{e}^{x}+1\right] = {e}^{x}$
  قاعدهٔ جمع: از هر جمله جداگانه مشتق بگیرید
4. $\frac{d}{dx}\left[{e}^{x}\right] = {e}^{x}$
  قاعدهٔ تابع نمایی: d/dx[eᵘ] = eᵘ·u′
3. گام‌ها، بخش 2
1. $\frac{d}{dx}\left[\tan^{-1}\left({x}^{2}+ x+1\right)\right] = \frac{2x+1}{{\left({x}^{2}+ x+1\right)}^{2}+1}$
  قاعدهٔ زنجیره‌ای — d/dx[arctan u] = u′/(1 + u²)
2. $\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}+ x+1\right] = 2x+1$
  قاعدهٔ جمع: از هر جمله جداگانه مشتق بگیرید
3. $\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}+ x\right] = 2x+1$
  قاعدهٔ جمع: از هر جمله جداگانه مشتق بگیرید
4. $\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}\right] = 2x$
  قاعدهٔ توان: d/dx[xⁿ] = n·xⁿ⁻¹
4. گام‌ها، بخش 3
1. $f'(x) = \frac{\left(2x+1\right) \ln\left({e}^{x}+1\right)}{{\left({x}^{2}+ x+1\right)}^{2}+1}+\frac{\tan^{-1}\left({x}^{2}+ x+1\right) {e}^{x}}{{e}^{x}+1}$
  ترکیب و ساده کنید
5. جواب
$f'(x) = \frac{\left(2x+1\right) \ln\left({e}^{x}+1\right)}{{\left({x}^{2}+ x+1\right)}^{2}+1}+\frac{\tan^{-1}\left({x}^{2}+ x+1\right) {e}^{x}}{{e}^{x}+1}$
f'(x) = (2x + 1)·ln(e^x + 1) / ((x² + x + 1)² + 1) + atan(x² + x + 1)·e^x / (e^x + 1)
6. بررسی
- به‌طور عددی با یک مشتق‌گیر نمادین مستقل در 8 نقطهٔ نمونه مقایسه شد ✓

متن کامل

مسئله. این مسئله است: مشتق (arctan(x به توان دو به‌علاوه x به‌علاوه 1))(ln(e به توان x به‌علاوه 1)). مشتق (atan(x به توان دو به‌علاوه x به‌علاوه 1)) (ln(e به توان x به‌علاوه 1)) را نسبت به x پیدا کنید.

گام‌ها، بخش 1. قاعدهٔ ضرب: (uv) پریم مساوی u پریم v به‌علاوه uv پریم. قاعدهٔ زنجیره‌ای: مشتق نسبت به x[ln u] مساوی u پریم /u. قاعدهٔ جمع: از هر جمله جداگانه مشتق بگیرید. قاعدهٔ تابع نمایی: مشتق نسبت به x[eᵘ] مساوی eᵘ ضرب در u پریم.

گام‌ها، بخش 2. قاعدهٔ زنجیره‌ای — مشتق نسبت به x[arctan u] مساوی u پریم /(1 به‌علاوه u به توان دو). قاعدهٔ جمع: از هر جمله جداگانه مشتق بگیرید. قاعدهٔ جمع: از هر جمله جداگانه مشتق بگیرید. قاعدهٔ توان: مشتق نسبت به x[x به توان n] مساوی n ضرب در x به توان n منهای 1.

گام‌ها، بخش 3. ترکیب و ساده کنید.

جواب. پس جواب این است: مشتق f مساوی (2x به‌علاوه 1) ضرب در ln(e به توان x به‌علاوه 1) / ((x به توان دو به‌علاوه x به‌علاوه 1) به توان دو به‌علاوه 1) به‌علاوه atan(x به توان دو به‌علاوه x به‌علاوه 1) ضرب در e به توان x / (e به توان x به‌علاوه 1). مشتق از بیرون به درون ساخته می‌شود: مجموع به جمله‌هایش تقسیم می‌شود، ثابت‌ها بیرون می‌آیند، حاصل‌ضرب و خارج‌قسمت از قاعده‌های خودشان استفاده می‌کنند و هر تابع مرکب در مشتق تابع درونی‌اش ضرب می‌شود (قاعدهٔ زنجیره‌ای).

بررسی. به‌طور عددی با یک مشتق‌گیر نمادین مستقل در 8 نقطهٔ نمونه مقایسه شد، که درست است.

گام‌ها روی صفحه

متن کامل

درس‌های مشابه