رفتن به محتوا
MathSolver Pro
  • باز کردن حل‌کننده
  • از معلم هوشمند بپرسید
  • یافتن درس AP
  • ساخت آزمونک
  • باز کردن ماشین‌حساب
  • ماشین‌حساب نموداری
  • همه ماشین‌حساب‌ها
  • خواندن راهنماهای ریاضی
↑ ↓Enter برای باز کردن · Esc برای بستن
حل یک مسئله
دنباله‌ها و سری‌هاجبردانشگاه≈ 2:36

محاسبه مجموع 1/n² از n=1 تا ∞

یک درس متحرک گام‌به‌گام. برای دیدن هر گام با زیرنویس، پخش را بزنید یا گام‌ها و متن کامل را در پایین بخوانید. پاسخ: سری همگرا است (آزمون مقایسه حدی با Σ 1/n^2); مجموع ≈ 1.644934067 (مطابقت دارد با π²/6 تا ۱۰ رقم اعشار و بیشتر).

ویدیو ضبط‌شده: صدا و نوشته‌های داخل تصویر به زبان انگلیسی هستند. زیرنویس: فارسی. برای شنیدن روایت به این زبان، نسخه تعاملی را باز کنید.

ویدیوی انگلیسی: دانلود MP4 (0.9 MB) · زیرنویس (WebVTT): فارسی · زیرنویس انگلیسی (WebVTT)

گام‌ها روی صفحه

  1. 1. مسئله
    مثال حل‌شده
    ∑n=1∞1n2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{n}^{2}}
  2. 2. گام به گام
    1. ∑n=1∞1n2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{n}^{2}}
      سری را بنویسید
    2. lim⁡n→∞1n2=0\lim_{n\to\infty} \frac{1}{{n}^{2}} = 0
      آزمون جملهٔ nام
    3. lim⁡n→∞an1/n2=1\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1/n^{2}} = 1
      مقایسهٔ حدی با سری p
    4. تخمین عددی مجموع
  3. 3. جواب
    ∑n=1∞1n2 همگراست≈1.644934067\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{n}^{2}} \ \text{همگراست} \approx 1.644934067

    limit comparison with Σ 1/n^2 ⇒ converges, S ≈ 1.644934067 (matches π²/6 to 10+ digits)

  4. 4. بررسی
    • مجموع‌های جزئی (شاهد پشتیبان، نه اثبات): S₁₀ = 1.5497677، S₁₀₀ = 1.6349839، S₁₀₀₀ = 1.6439346، S₁₀₀₀₀ = 1.6448341

متن کامل

مسئله. این مسئله است: محاسبه مجموع 1/n به توان دو از n مساوی 1 تا بی‌نهایت. مشخص کنید که Σ 1 / n به توان دو (n از 1 تا ∞) همگراست یا واگرا.

گام به گام. سری را بنویسید. Σ a(n) برای n مساوی 1, 2, 3، … با a(n) مساوی 1 / n به توان دو. جمله‌های اول: 1, 0.25, 0.111111, 0.0625، …. آزمون جملهٔ nام. lim a(n) مساوی 0، پس آزمون واگرایی نتیجه‌ای نمی‌دهد؛ جمله‌ها واقعاً کوچک می‌شوند، پس آزمون دقیق‌تری لازم است. مقایسهٔ حدی با سری p. جمله‌های مثبت: جمله‌ها تقریباً مانند 1/n به توان دو کوچک می‌شوند (برآوردشده از a(2N)/a(N))، پس با Σ 1/n به توان دو مقایسه کنید: lim a(n) ضرب در n به توان دو مساوی 1. حد عددی مثبت و متناهی است، پس سری دقیقاً مانند سری p یعنی Σ 1/n به توان دو رفتار می‌کند که همگراست چون p بزرگ‌تر از 1. تخمین عددی مجموع. مجموع‌های جزئی S N برای چند N محاسبه و به N → ∞ برون‌یابی شدند (برون‌یابی ریچاردسون؛ برای جمله‌های متناوب ابتدا میانگین گرفته می‌شود). دو برون‌یابی مستقل با دقتی بهتر از 10 به توان منهای 10 توافق دارند و S تقریباً 1.644934067 را می‌دهند. هر شکل بسته‌ی نمایش‌داده‌شده یک تطبیق عددی است، نه اثبات.

جواب. پس جواب این است: سری همگرا است (آزمون مقایسه حدی با Σ 1/n به توان دو); مجموع تقریباً 1.644934067 (مطابقت دارد با پی به توان دو/6 تا ۱۰ رقم اعشار و بیشتر). سری وقتی همگراست که مجموع‌های جزئی‌اش به عددی متناهی میل کنند. برای این کار جمله‌ها باید به 0 میل کنند، اما این به‌تنهایی کافی نیست (سری همساز واگراست)، پس برای تصمیم‌گیری از آزمون مقایسه، نسبت، ریشه، سری متناوب یا انتگرال استفاده می‌شود.

بررسی. مجموع‌های جزئی (شاهد پشتیبان، نه اثبات): S₁₀ مساوی 1.5497677، S₁₀₀ مساوی 1.6349839، S₁₀₀₀ مساوی 1.6439346، S₁₀₀₀₀ مساوی 1.6448341.

درس‌های مشابه

محاسبه مجموع 1/n² از n=1 تا ∞ — درس ویدیویی گام‌به‌گام