رفتن به محتوا
MathSolver Pro
  • باز کردن حل‌کننده
  • از معلم هوشمند بپرسید
  • یافتن درس AP
  • ساخت آزمونک
  • باز کردن ماشین‌حساب
  • ماشین‌حساب نموداری
  • همه ماشین‌حساب‌ها
  • خواندن راهنماهای ریاضی
↑ ↓Enter برای باز کردن · Esc برای بستن
حل یک مسئله
دنباله‌ها و سری‌هاجبردانشگاه≈ 1:56

محاسبه مجموع (-1)ⁿ/2ⁿ از n=0 تا ∞

یک درس متحرک گام‌به‌گام. برای دیدن هر گام با زیرنویس، پخش را بزنید یا گام‌ها و متن کامل را در پایین بخوانید. پاسخ: سری همگرا است (سری هندسی (|r| < 1)); مجموع = 2/3.

ویدیو ضبط‌شده: صدا و نوشته‌های داخل تصویر به زبان انگلیسی هستند. زیرنویس: فارسی. برای شنیدن روایت به این زبان، نسخه تعاملی را باز کنید.

ویدیوی انگلیسی: دانلود MP4 (0.7 MB) · زیرنویس (WebVTT): فارسی · زیرنویس انگلیسی (WebVTT)

گام‌ها روی صفحه

  1. 1. مسئله
    مثال حل‌شده
    ∑n=0∞(−1)n2n\sum_{n=0}^{\infty} \frac{{\left(-1\right)}^{n}}{{2}^{n}}
  2. 2. گام به گام
    1. ∑n=0∞(−1)n2n\sum_{n=0}^{\infty} \frac{{\left(-1\right)}^{n}}{{2}^{n}}
      سری را بنویسید
    2. S=a1−r=23S = \frac{a}{1-r} = \frac{2}{3}
      تشخیص سری هندسی
  3. 3. جواب
    ∑n=0∞(−1)n2n همگراست=23\sum_{n=0}^{\infty} \frac{{\left(-1\right)}^{n}}{{2}^{n}} \ \text{همگراست} = \frac{2}{3}

    geometric series (|r| < 1) ⇒ converges, S = 2/3

  4. 4. بررسی
    • مجموع‌های جزئی (شاهد پشتیبان، نه اثبات): S₁₀ = 0.66601563، S₁₀₀ = 0.66666667، S₁₀₀₀ = 0.66666667، S₁₀₀₀₀ = 0.66666667

متن کامل

مسئله. این مسئله است: محاسبه مجموع (منفی 1) به توان n/2 به توان n از n مساوی 0 تا بی‌نهایت. مشخص کنید که Σ (منفی 1) به توان n / 2 به توان n (n از 0 تا ∞) همگراست یا واگرا.

گام به گام. سری را بنویسید. Σ a(n) برای n مساوی 0, 1, 2، … با a(n) مساوی (منفی 1) به توان n / 2 به توان n. جمله‌های اول: 1, منفی 0.5, 0.25, منفی 0.125، …. تشخیص سری هندسی. هر جمله برابر جملهٔ قبلی ضرب در r مساوی منفی 1 تقسیم بر 2 است (برای 40 جملهٔ اول بررسی شد)، با جملهٔ اول a مساوی 1. چون |r| کوچک‌تر از 1، سری همگراست و مجموعش a/(1 منهای r) مساوی 2 تقسیم بر 3 تقریباً 0.6666666667 است.

جواب. پس جواب این است: سری همگرا است (سری هندسی (|r| کوچک‌تر از 1)); مجموع مساوی 2 تقسیم بر 3. سری وقتی همگراست که مجموع‌های جزئی‌اش به عددی متناهی میل کنند. برای این کار جمله‌ها باید به 0 میل کنند، اما این به‌تنهایی کافی نیست (سری همساز واگراست)، پس برای تصمیم‌گیری از آزمون مقایسه، نسبت، ریشه، سری متناوب یا انتگرال استفاده می‌شود.

بررسی. مجموع‌های جزئی (شاهد پشتیبان، نه اثبات): S₁₀ مساوی 0.66601563، S₁₀₀ مساوی 0.66666667، S₁₀₀₀ مساوی 0.66666667، S₁₀₀₀₀ مساوی 0.66666667.

درس‌های مشابه

محاسبه مجموع (-1)ⁿ/2ⁿ از n=0 تا ∞ — درس ویدیویی گام‌به‌گام