رفتن به محتوا
MathSolver Pro
  • باز کردن حل‌کننده
  • از معلم هوشمند بپرسید
  • یافتن درس AP
  • ساخت آزمونک
  • باز کردن ماشین‌حساب
  • ماشین‌حساب نموداری
  • همه ماشین‌حساب‌ها
  • خواندن راهنماهای ریاضی
↑ ↓Enter برای باز کردن · Esc برای بستن
حل یک مسئله
دنباله‌ها و سری‌هاجبردانشگاه≈ 1:59

محاسبه مجموع 1/n از n=1 تا ∞

یک درس متحرک گام‌به‌گام. برای دیدن هر گام با زیرنویس، پخش را بزنید یا گام‌ها و متن کامل را در پایین بخوانید. پاسخ: سری واگرا است (آزمون مقایسه حدی با Σ 1/n).

ویدیو ضبط‌شده: صدا و نوشته‌های داخل تصویر به زبان انگلیسی هستند. زیرنویس: فارسی. برای شنیدن روایت به این زبان، نسخه تعاملی را باز کنید.

ویدیوی انگلیسی: دانلود MP4 (0.7 MB) · زیرنویس (WebVTT): فارسی · زیرنویس انگلیسی (WebVTT)

گام‌ها روی صفحه

  1. 1. مسئله
    مثال حل‌شده
    ∑n=1∞1n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}
  2. 2. گام به گام
    1. ∑n=1∞1n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}
      سری را بنویسید
    2. lim⁡n→∞1n=0\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0
      آزمون جملهٔ nام
    3. lim⁡n→∞an1/n=1\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1/n} = 1
      مقایسهٔ حدی با سری p
  3. 3. جواب
    ∑n=1∞1n واگراست\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \ \text{واگراست}

    limit comparison with Σ 1/n ⇒ diverges

  4. 4. بررسی
    • مجموع‌های جزئی (شاهد پشتیبان، نه اثبات): S₁₀ = 2.9289683، S₁₀₀ = 5.1873775، S₁₀₀₀ = 7.4854709، S₁₀₀₀₀ = 9.787606

متن کامل

مسئله. این مسئله است: محاسبه مجموع 1/n از n مساوی 1 تا بی‌نهایت. مشخص کنید که Σ 1 / n (n از 1 تا ∞) همگراست یا واگرا.

گام به گام. سری را بنویسید. Σ a(n) برای n مساوی 1, 2, 3، … با a(n) مساوی 1 / n. جمله‌های اول: 1, 0.5, 0.333333, 0.25، …. آزمون جملهٔ nام. lim a(n) مساوی 0، پس آزمون واگرایی نتیجه‌ای نمی‌دهد؛ جمله‌ها واقعاً کوچک می‌شوند، پس آزمون دقیق‌تری لازم است. مقایسهٔ حدی با سری p. جمله‌های مثبت: جمله‌ها تقریباً مانند 1/n کوچک می‌شوند (تخمین زده شده از a(2N)/a(N))، پس با Σ 1/n مقایسه کنید: lim a(n) ضرب در n مساوی 1. حد یک عدد مثبت متناهی است، پس سری دقیقاً مانند p-سری Σ 1/n رفتار می‌کند که به دلیل p کوچک‌تر یا مساوی 1 واگراست.

جواب. پس جواب این است: سری واگرا است (آزمون مقایسه حدی با Σ 1/n). سری وقتی همگراست که مجموع‌های جزئی‌اش به عددی متناهی میل کنند. برای این کار جمله‌ها باید به 0 میل کنند، اما این به‌تنهایی کافی نیست (سری همساز واگراست)، پس برای تصمیم‌گیری از آزمون مقایسه، نسبت، ریشه، سری متناوب یا انتگرال استفاده می‌شود.

بررسی. مجموع‌های جزئی (شاهد پشتیبان، نه اثبات): S₁₀ مساوی 2.9289683، S₁₀₀ مساوی 5.1873775، S₁₀₀₀ مساوی 7.4854709، S₁₀₀₀₀ مساوی 9.787606.

درس‌های مشابه

محاسبه مجموع 1/n از n=1 تا ∞ — درس ویدیویی گام‌به‌گام