DérivéesAnalyseUniversité≈ 1:42

Dérivée de (arctan(x²+x+1))(ln(eˣ+1))

Une leçon animée pas à pas. Appuyez sur Lecture pour voir chaque étape avec sous-titres, ou lisez les étapes et la transcription ci-dessous. Réponse: f'(x) = (2x + 1)·ln(e^x + 1) / ((x² + x + 1)² + 1) + atan(x² + x + 1)·e^x / (e^x + 1).

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Étapes à l’écran

1. Le problème
Exemple résolu
$\frac{d}{dx}\left[\tan^{-1}\left({x}^{2}+ x+1\right) \ln\left({e}^{x}+1\right)\right]$
2. Étapes, partie 1
1. $\frac{d}{dx}\left[\tan^{-1}\left({x}^{2}+ x+1\right) \ln\left({e}^{x}+1\right)\right] = \frac{\left(2x+1\right) \ln\left({e}^{x}+1\right)}{{\left({x}^{2}+ x+1\right)}^{2}+1}+\frac{\tan^{-1}\left({x}^{2}+ x+1\right) {e}^{x}}{{e}^{x}+1}$
  Dérivée d’un produit : (uv)′ = u′v + uv′
2. $\frac{d}{dx}\left[\ln\left({e}^{x}+1\right)\right] = \frac{{e}^{x}}{{e}^{x}+1}$
  Dérivée d’une composée — d/dx[ln u] = u′/u
3. $\frac{d}{dx}\left[{e}^{x}+1\right] = {e}^{x}$
  Dérivée d’une somme : dériver chaque terme séparément
4. $\frac{d}{dx}\left[{e}^{x}\right] = {e}^{x}$
  Dérivée de l’exponentielle : d/dx[eᵘ] = eᵘ·u′
3. Étapes, partie 2
1. $\frac{d}{dx}\left[\tan^{-1}\left({x}^{2}+ x+1\right)\right] = \frac{2x+1}{{\left({x}^{2}+ x+1\right)}^{2}+1}$
  Règle de dérivation en chaîne — d/dx[arctan u] = u′/(1 + u²)
2. $\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}+ x+1\right] = 2x+1$
  Dérivée d’une somme : dériver chaque terme séparément
3. $\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}+ x\right] = 2x+1$
  Dérivée d’une somme : dériver chaque terme séparément
4. $\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}\right] = 2x$
  Dérivée d’une puissance : d/dx[xⁿ] = n·xⁿ⁻¹
4. Étapes, partie 3
1. $f'(x) = \frac{\left(2x+1\right) \ln\left({e}^{x}+1\right)}{{\left({x}^{2}+ x+1\right)}^{2}+1}+\frac{\tan^{-1}\left({x}^{2}+ x+1\right) {e}^{x}}{{e}^{x}+1}$
  Regrouper et simplifier
5. La réponse
$f'(x) = \frac{\left(2x+1\right) \ln\left({e}^{x}+1\right)}{{\left({x}^{2}+ x+1\right)}^{2}+1}+\frac{\tan^{-1}\left({x}^{2}+ x+1\right) {e}^{x}}{{e}^{x}+1}$
f'(x) = (2x + 1)·ln(e^x + 1) / ((x² + x + 1)² + 1) + atan(x² + x + 1)·e^x / (e^x + 1)
6. Vérification
- Contrôlé numériquement avec un dérivateur symbolique indépendant en 8 points tests ✓

Transcription

Le problème. Voici le problème : Dérivée de (arctan(x au carré plus x plus 1))(ln(e puissance x plus 1)). Calculer la dérivée de (atan(x au carré plus x plus 1)) (ln(e puissance x plus 1)) par rapport à x.

Étapes, partie 1. Dérivée d’un produit: (uv) prime égale u prime v plus uv prime. Dérivée d’une composée — d sur d x[ln u] égale u prime /u. Dérivée d’une somme: dériver chaque terme séparément. Dérivée de l’exponentielle: d sur d x[eᵘ] égale eᵘ fois u prime.

Étapes, partie 2. Règle de dérivation en chaîne — d sur d x[arctan u] égale u prime /(1 plus u au carré). Dérivée d’une somme: dériver chaque terme séparément. Dérivée d’une somme: dériver chaque terme séparément. Dérivée d’une puissance: d sur d x[x puissance n] égale n fois x puissance n moins 1.

Étapes, partie 3. Regrouper et simplifier.

La réponse. La réponse est donc f prime de x égale (2x plus 1) fois ln(e puissance x plus 1) / ((x au carré plus x plus 1) au carré plus 1) plus atan(x au carré plus x plus 1) fois e puissance x / (e puissance x plus 1). La dérivée se construit de l’extérieur vers l’intérieur: les sommes se séparent en termes, les constantes se mettent en facteur, les produits et les quotients suivent leurs formules, et chaque fonction composée est multipliée par la dérivée de sa fonction intérieure (dérivée d’une composée).

Vérification. Contrôlé numériquement avec un dérivateur symbolique indépendant en 8 points tests, ce qui est vérifié.

Étapes à l’écran

Transcription

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