Suites et sériesAlgèbreUniversité≈ 1:37

Évaluer la somme de 1/3ⁿ de n=1 à ∞

Une leçon animée pas à pas. Appuyez sur Lecture pour voir chaque étape avec sous-titres, ou lisez les étapes et la transcription ci-dessous. Réponse: La série converge (série géométrique (|r| < 1)); somme = 1/2.

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Étapes à l’écran

1. Le problème
Exemple résolu
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{3}^{n}}$
2. Étape par étape
1. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{3}^{n}}$
  Écrire la série
2. $S = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{2}$
  Reconnaître une série géométrique
3. La réponse
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{3}^{n}} \ \text{converge} = \frac{1}{2}$
geometric series (|r| < 1) ⇒ converges, S = 1/2
4. Vérification
- Sommes partielles (indice, pas une preuve) : S₁₀ = 0.49999153, S₁₀₀ = 0.5, S₁₀₀₀ = 0.5, S₁₀₀₀₀ = 0.5

Transcription

Le problème. Voici le problème : Évaluer la somme de 1 sur 3 puissance n de n égale 1 à l prime infini. Déterminer si Σ 1 sur 3 puissance n (n de 1 à ∞) converge ou diverge.

Étape par étape. Écrire la série. Σ a(n) pour n égale 1, 2, 3, … avec a(n) égale 1 sur 3 puissance n. Premiers termes: 0.333333, 0.111111, 0.037037, 0.0123457, …. Reconnaître une série géométrique. Chaque terme est le précédent multiplié par r égale 1 sur 3 (vérifié sur les 40 premiers termes), avec pour premier terme a égale 1 sur 3. Comme |r| inférieur à 1, la série converge et sa somme vaut a/(1 moins r) égale 1 sur 2 environ 0.5.

La réponse. La réponse est donc La série converge (série géométrique (|r| inférieur à 1)); somme égale 1 sur 2. Une série converge lorsque ses sommes partielles tendent vers un nombre fini. Pour cela, le terme général doit tendre vers 0, mais cela ne suffit pas (la série harmonique diverge): on conclut donc avec un critère de comparaison, la règle de d’Alembert, la règle de Cauchy, le critère des séries alternées ou la comparaison série-intégrale.

Vérification. Sommes partielles (indice, pas une preuve): S₁₀ égale 0.49999153, S₁₀₀ égale 0.5, S₁₀₀₀ égale 0.5, S₁₀₀₀₀ égale 0.5.

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