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Résoudre un problème
Suites et sériesAlgèbreUniversité≈ 1:59

Évaluer la somme de 1/√(n) de n=1 à ∞

Une leçon animée pas à pas. Appuyez sur Lecture pour voir chaque étape avec sous-titres, ou lisez les étapes et la transcription ci-dessous. Réponse: La série diverge (comparaison avec Σ 1/n).

Vidéo enregistrée : la voix et l'écriture à l'écran sont en anglais. Sous-titres : Français. Pour une narration dans cette langue, ouvrez la version interactive.

Vidéo en anglais : Télécharger MP4 (0.7 MB) · Sous-titres (WebVTT) : Français · Sous-titres anglais (WebVTT)

Étapes à l’écran

  1. 1. Le problème
    Exemple résolu
    ∑n=1∞1n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}
  2. 2. Étape par étape
    1. ∑n=1∞1n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}
      Écrire la série
    2. lim⁡n→∞1n=0\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0
      Test du terme général
    3. lim⁡n→∞an1/n=∞\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1/n} = \infty
      Comparaison par équivalent avec une série de Riemann
  3. 3. La réponse
    ∑n=1∞1n diverge\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \ \text{diverge}

    comparison with Σ 1/n ⇒ diverges

  4. 4. Vérification
    • Sommes partielles (indice, pas une preuve) : S₁₀ = 5.0209979, S₁₀₀ = 18.589604, S₁₀₀₀ = 61.801009, S₁₀₀₀₀ = 198.54465

Transcription

Le problème. Voici le problème : Évaluer la somme de 1/sqrt(n) de n égale 1 à l prime infini. Déterminer si Σ 1 / sqrt(n) (n de 1 à ∞) converge ou diverge.

Étape par étape. Écrire la série. Σ a(n) pour n égale 1, 2, 3, … avec a(n) égale 1 / sqrt(n). Premiers termes: 1, 0.707107, 0.57735, 0.5, …. Test du terme général. lim a(n) égale 0: le test de divergence grossière ne permet pas de conclure; les termes diminuent bien, il faut donc un critère plus fin. Comparaison par équivalent avec une série de Riemann. Termes positifs: comparer plutôt avec Σ 1/n: lim a(n) fois n égale ∞. La limite est ∞, donc les termes sont finalement plus grands que 1/n; cette série de Riemann diverge (p inférieur ou égal à 1), donc celle-ci aussi.

La réponse. La réponse est donc La série diverge (comparaison avec Σ 1/n). Une série converge lorsque ses sommes partielles tendent vers un nombre fini. Pour cela, le terme général doit tendre vers 0, mais cela ne suffit pas (la série harmonique diverge): on conclut donc avec un critère de comparaison, la règle de d’Alembert, la règle de Cauchy, le critère des séries alternées ou la comparaison série-intégrale.

Vérification. Sommes partielles (indice, pas une preuve): S₁₀ égale 5.0209979, S₁₀₀ égale 18.589604, S₁₀₀₀ égale 61.801009, S₁₀₀₀₀ égale 198.54465.

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