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Résoudre un problème
Suites et sériesAlgèbreUniversité≈ 2:23

Calculer la somme de 1/n! de n=0 à l'infini

Une leçon animée pas à pas. Appuyez sur Lecture pour voir chaque étape avec sous-titres, ou lisez les étapes et la transcription ci-dessous. Réponse: La série converge (test du rapport); somme ≈ 2.718281828 (correspond à e à plus de 10 chiffres).

Vidéo enregistrée : la voix et l'écriture à l'écran sont en anglais. Sous-titres : Français. Pour une narration dans cette langue, ouvrez la version interactive.

Vidéo en anglais : Télécharger MP4 (0.8 MB) · Sous-titres (WebVTT) : Français · Sous-titres anglais (WebVTT)

Étapes à l’écran

  1. 1. Le problème
    Exemple résolu
    ∑n=0∞1n!\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}
  2. 2. Étape par étape
    1. ∑n=0∞1n!\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}
      Écrire la série
    2. lim⁡n→∞1n!=0\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n!} = 0
      Test du terme général
    3. L=lim⁡n→∞1n+1=0L = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n+1} = 0
      Règle de d’Alembert
    4. Estimer la somme numériquement
  3. 3. La réponse
    ∑n=0∞1n! converge≈2.718281828\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \ \text{converge} \approx 2.718281828

    ratio test ⇒ converges, S ≈ 2.718281828 (matches e to 10+ digits)

  4. 4. Vérification
    • Sommes partielles (indice, pas une preuve) : S₁₀ = 2.7182815, S₁₀₀ = 2.7182818, S₁₀₀₀ = 2.7182818, S₁₀₀₀₀ = 2.7182818

Transcription

Le problème. Voici le problème : Calculer la somme de 1/n! de n égale 0 à l prime infini. Déterminer si Σ 1 / n! (n de 0 à ∞) converge ou diverge.

Étape par étape. Écrire la série. Σ a(n) pour n égale 0, 1, 2, … avec a(n) égale 1 / n!. Premiers termes: 1, 1, 0.5, 0.166667, …. Test du terme général. lim a(n) égale 0: le test de divergence grossière ne permet pas de conclure; les termes diminuent bien, il faut donc un critère plus fin. Règle de d’Alembert. Termes positifs: a(n plus 1)/a(n) se simplifie en 1 / (n plus 1), et sa limite quand n → ∞ vaut L égale 0. L inférieur à 1: la série converge donc (absolument). Estimer la somme numériquement. Les sommes partielles S N ont été calculées pour plusieurs N et extrapolées à N → ∞ (extrapolation de Richardson; pour des termes alternés, on fait d prime abord la moyenne). Deux extrapolations indépendantes concordent à mieux que 10 puissance moins 10, ce qui donne S environ 2.718281828. Toute forme close affichée est une identification numérique, pas une preuve.

La réponse. La réponse est donc La série converge (test du rapport); somme environ 2.718281828 (correspond à e à plus de 10 chiffres). Une série converge lorsque ses sommes partielles tendent vers un nombre fini. Pour cela, le terme général doit tendre vers 0, mais cela ne suffit pas (la série harmonique diverge): on conclut donc avec un critère de comparaison, la règle de d’Alembert, la règle de Cauchy, le critère des séries alternées ou la comparaison série-intégrale.

Vérification. Sommes partielles (indice, pas une preuve): S₁₀ égale 2.7182815, S₁₀₀ égale 2.7182818, S₁₀₀₀ égale 2.7182818, S₁₀₀₀₀ égale 2.7182818.

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