Développer et factoriserAlgèbreLycée≈ 1:08

Factoriser x³ - 8

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Étapes à l’écran

1. Le problème
Exemple résolu
$x^{3} - 8$
2. Étapes, partie 1
1. $x^{3} - 8$
  Écrire le polynôme sous forme développée et ordonnée
2. Reconnaître une identité remarquable
3. Appliquer le théorème des racines rationnelles
4. $x^{3} - 8 = (x - 2)\left(x^{2} + 2x + 4\right)$
  Diviser par (x - 2) par division synthétique (méthode de Horner) en x = 2
3. Étapes, partie 2
1. Examiner le facteur du second degré restant
2. $(x - 2)(x^{2} + 2x + 4)$
  Écrire la factorisation complète
4. La réponse
$(x - 2)(x^{2} + 2x + 4)$
x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)
5. Vérification
- En développant (x - 2)(x^2 + 2x + 4), on retrouve x^3 - 8.

Transcription

Le problème. Voici le problème : x au cube moins 8. Factoriser un polynôme sur les rationnels.

Étapes, partie 1. Écrire le polynôme sous forme développée et ordonnée. Reconnaître une identité remarquable. Le facteur restant est une différence de cubes: a au cube moins b au cube égale (a moins b)(a au carré plus ab plus b au carré). Appliquer le théorème des racines rationnelles. Toute racine rationnelle p/q a p divisant le terme constant moins 8 et q divisant le coefficient dominant 1. Tester ces candidats donne la racine 2. Diviser par (x moins 2) par division synthétique (méthode de Horner) en x égale 2.

Étapes, partie 2. Examiner le facteur du second degré restant. Son discriminant vaut moins 12, il est négatif: ce facteur est irréductible sur les rationnels. Écrire la factorisation complète.

La réponse. La réponse est donc (x moins 2)(x au carré plus 2x plus 4). x au cube moins 8 se factorise complètement sur les rationnels sous la forme (x moins 2)(x au carré plus 2x plus 4).

Vérification. En développant (x moins 2)(x au carré plus 2x plus 4), on retrouve x au cube moins 8.

Étapes à l’écran

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