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Résoudre un problème
Développer et factoriserAlgèbreLycée≈ 1:18

Factoriser x⁴ - 81

Une leçon animée pas à pas. Appuyez sur Lecture pour voir chaque étape avec sous-titres, ou lisez les étapes et la transcription ci-dessous. Réponse: (x - 3)(x + 3)(x^2 + 9).

Vidéo enregistrée : la voix et l'écriture à l'écran sont en anglais. Sous-titres : Français. Pour une narration dans cette langue, ouvrez la version interactive.

Vidéo en anglais : Télécharger MP4 (0.5 MB) · Sous-titres (WebVTT) : Français · Sous-titres anglais (WebVTT)

Étapes à l’écran

  1. 1. Le problème
    Exemple résolu
    x4−81x^{4} - 81
  2. 2. Étapes, partie 1
    1. x4−81x^{4} - 81
      Écrire le polynôme sous forme développée et ordonnée
    2. Reconnaître une identité remarquable
    3. Appliquer le théorème des racines rationnelles
    4. x4−81=(x+3)(x3−3x2+9x−27)x^{4} - 81 = (x + 3)\left(x^{3} - 3x^{2} + 9x - 27\right)
      Diviser par (x + 3) par division synthétique (méthode de Horner) en x = -3
  3. 3. Étapes, partie 2
    1. x3−3x2+9x−27=(x−3)(x2+9)x^{3} - 3x^{2} + 9x - 27 = (x - 3)\left(x^{2} + 9\right)
      Diviser par (x - 3) par division synthétique (méthode de Horner) en x = 3
    2. Examiner le facteur du second degré restant
    3. (x−3)(x+3)(x2+9)(x - 3)(x + 3)(x^{2} + 9)
      Écrire la factorisation complète
  4. 4. La réponse
    (x−3)(x+3)(x2+9)(x - 3)(x + 3)(x^{2} + 9)

    x^4 - 81 = (x - 3)(x + 3)(x^2 + 9)

  5. 5. Vérification
    • En développant (x - 3)(x + 3)(x^2 + 9), on retrouve x^4 - 81.

Transcription

Le problème. Voici le problème : x puissance 4 moins 81. Factoriser un polynôme sur les rationnels.

Étapes, partie 1. Écrire le polynôme sous forme développée et ordonnée. Reconnaître une identité remarquable. Le facteur restant est une différence de deux carrés: a au carré moins b au carré égale (a moins b)(a plus b). Appliquer le théorème des racines rationnelles. Toute racine rationnelle p/q a p qui divise le terme constant moins 81 et q qui divise le coefficient dominant 1. Tester ces candidats donne les racines moins 3, 3. Diviser par (x plus 3) par division synthétique (méthode de Horner) en x égale moins 3.

Étapes, partie 2. Diviser par (x moins 3) par division synthétique (méthode de Horner) en x égale 3. Examiner le facteur du second degré restant. Son discriminant vaut moins 36, il est négatif: ce facteur est irréductible sur les rationnels. Écrire la factorisation complète.

La réponse. La réponse est donc (x moins 3)(x plus 3)(x au carré plus 9). x puissance 4 moins 81 se factorise complètement sur les rationnels sous la forme (x moins 3)(x plus 3)(x au carré plus 9).

Vérification. En développant (x moins 3)(x plus 3)(x au carré plus 9), on retrouve x puissance 4 moins 81.

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