LimitesAnalyseUniversité≈ 2:25

Trouver lim x→0 ln(1+3x)/x

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Étapes à l’écran

1. Le problème
Exemple résolu
$\lim_{x \to 0} \frac{\ln\left(1+3x\right)}{x}$
2. Étape par étape
1. $\lim_{x \to 0} \frac{\ln\left(1+3x\right)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{3x+1}}{1}$
  Forme indéterminée 0/0 : appliquer la règle de L’Hôpital
2. $\lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{3x+1}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{3}{3x+1}$
  Simplifier
3. $\lim_{x \to 0} \frac{3}{3x+1} = \frac{3}{3\left(0\right)+1} = 3$
  Substitution directe
3. La réponse
$\lim_{x \to 0} \frac{\ln\left(1+3x\right)}{x} = 3$
lim x→0 ln(1 + 3 x) / x = 3
4. Vérification
- Valeurs numériques par la droite : f(0.01) = 2.9558802, f(0.001) = 2.995509, f(0.0001) = 2.9995501, f(0.00001) = 2.999955 (pas de tendance claire à cette précision)
- Valeurs numériques par la gauche : f(-0.01) = 3.0459207, f(-0.001) = 3.004509, f(-0.0001) = 3.0004501, f(-0.00001) = 3.000045 (pas de tendance claire à cette précision)

Transcription

Le problème. Voici le problème : Trouver lim x- supérieur à 0 ln(1 plus 3x)/x. Calculer la limite de ln(1 plus 3 x) / x quand x → 0.

Étape par étape. Forme indéterminée 0 sur 0: appliquer la règle de L’Hôpital. Dériver séparément le numérateur et le dénominateur (ce n’est pas la dérivée d’un quotient). Simplifier. Substitution directe. L’expression est continue en x égale 0: la limite est donc égale à sa valeur en ce point.

La réponse. La réponse est donc Limite égale 3. Une limite décrit la valeur dont une fonction s’approche, pas nécessairement la valeur qu’elle prend. Lorsque la substitution donne une forme indéterminée, l’expression est réécrite (règle de L’Hôpital, quantité conjuguée ou logarithmes) jusqu’à ce que la substitution fonctionne.

Vérification. Valeurs numériques par la droite: f(0.01) égale 2.9558802, f(0.001) égale 2.995509, f(0.0001) égale 2.9995501, f(0.00001) égale 2.999955 (pas de tendance claire à cette précision). Valeurs numériques par la gauche: f(moins 0.01) égale 3.0459207, f(moins 0.001) égale 3.004509, f(moins 0.0001) égale 3.0004501, f(moins 0.00001) égale 3.000045 (pas de tendance claire à cette précision).

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