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Résoudre un problème
LimitesAnalyseUniversité≈ 1:49

Trouver lim x→∞ (x² + 1)/(x + 1)

Une leçon animée pas à pas. Appuyez sur Lecture pour voir chaque étape avec sous-titres, ou lisez les étapes et la transcription ci-dessous. Réponse: Limite = ∞.

Vidéo enregistrée : la voix et l'écriture à l'écran sont en anglais. Sous-titres : Français. Pour une narration dans cette langue, ouvrez la version interactive.

Vidéo en anglais : Télécharger MP4 (0.6 MB) · Sous-titres (WebVTT) : Français · Sous-titres anglais (WebVTT)

Étapes à l’écran

  1. 1. Le problème
    Exemple résolu
    lim⁡x→∞x2+1x+1\lim_{x \to \infty} \frac{{x}^{2}+1}{x+1}
  2. 2. Étape par étape
    1. lim⁡x→∞x2+1x+1=lim⁡x→∞2x1\lim_{x \to \infty} \frac{{x}^{2}+1}{x+1} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{1}
      Forme indéterminée ∞/∞ : appliquer la règle de L’Hôpital
    2. lim⁡x→∞2x1=lim⁡x→∞2x\lim_{x \to \infty} \frac{2x}{1} = \lim_{x \to \infty} 2x
      Simplifier
    3. lim⁡x→∞2x=∞\lim_{x \to \infty} 2x = \infty
      L'expression croît sans borne
    4. Conclusion
  3. 3. La réponse
    lim⁡x→∞x2+1x+1=∞\lim_{x \to \infty} \frac{{x}^{2}+1}{x+1} = \infty

    lim x→∞ (x² + 1) / (x + 1) = ∞

  4. 4. Vérification
    • Les valeurs numériques quand x grandit concordent : f(127.18281) = 126.19841, f(1271.8281) = 1270.8297, f(12718.281) = 12717.281, f(127182.81) = 127181.81 ✓

Transcription

Le problème. Voici le problème : Trouver lim x- supérieur à l prime infini (x au carré plus 1)/(x plus 1). Calculer la limite de (x au carré plus 1) / (x plus 1) quand x → ∞.

Étape par étape. Forme indéterminée ∞/∞: appliquer la règle de L’Hôpital. Dériver séparément le numérateur et le dénominateur (ce n’est pas la dérivée d’un quotient). Simplifier. L prime expression croît sans borne. Quand x → ∞, les valeurs augmentent sans limite. Conclusion. La fonction n’est pas bornée: la limite est donc +∞ (au sens strict, la limite n’existe pas en tant que nombre réel; la fonction diverge vers +∞).

La réponse. La réponse est donc Limite égale ∞. Une limite décrit la valeur dont une fonction s’approche, pas nécessairement la valeur qu’elle prend. Lorsque la substitution donne une forme indéterminée, l’expression est réécrite (règle de L’Hôpital, quantité conjuguée ou logarithmes) jusqu’à ce que la substitution fonctionne.

Vérification. Les valeurs numériques quand x grandit concordent: f(127.18281) égale 126.19841, f(1271.8281) égale 1270.8297, f(12718.281) égale 12717.281, f(127182.81) égale 127181.81, ce qui est vérifié.

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