LimitesAnalyseUniversité≈ 2:14

Trouver lim x→∞ √(x² + 4x) - x

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Étapes à l’écran

1. Le problème
Exemple résolu
$\lim_{x \to \infty} \sqrt{{x}^{2}+4x}- x$
2. Étape par étape
1. $\lim_{x \to \infty} \sqrt{{x}^{2}+4x}- x = \lim_{x \to \infty} \frac{{\sqrt{{x}^{2}+4x}}^{2}-{x}^{2}}{\sqrt{{x}^{2}+4x}+ x}$
  Forme indéterminée ∞ − ∞ : réécrire
2. $\lim_{x \to \infty} \frac{{\sqrt{{x}^{2}+4x}}^{2}-{x}^{2}}{\sqrt{{x}^{2}+4x}+ x} = \lim_{x \to \infty} \frac{4}{\frac{\frac{2x+4}{2}}{\sqrt{{x}^{2}+4x}}+1}$
  Forme indéterminée ∞/∞ : appliquer la règle de L’Hôpital
3. $\lim_{x \to \infty} \frac{4}{\frac{\frac{2x+4}{2}}{\sqrt{{x}^{2}+4x}}+1} = 2$
  Évaluer le comportement limite
4. $\lim_{x \to \infty} \sqrt{{x}^{2}+4x}- x = 2$
  Identifier la valeur
3. La réponse
$\lim_{x \to \infty} \sqrt{{x}^{2}+4x}- x = 2$
lim x→∞ sqrt(x² + 4 x) - x = 2
4. Vérification
- Les valeurs numériques quand x grandit concordent : f(127.18281) = 1.9845171, f(1271.8281) = 1.9984299, f(12718.281) = 1.9998428, f(127182.81) = 1.9999843 ✓

Transcription

Le problème. Voici le problème : Trouver lim x- supérieur à l prime infini sqrt(x au carré plus 4x) moins x. Calculer la limite de sqrt(x au carré plus 4 x) moins x quand x → ∞.

Étape par étape. Forme indéterminée ∞ moins ∞: réécrire. Multiplier par la quantité conjuguée: (u moins v)(u plus v)/(u plus v) égale (u au carré moins v au carré)/(u plus v). Forme indéterminée ∞/∞: appliquer la règle de L’Hôpital. Dériver séparément le numérateur et le dénominateur (ce n’est pas la dérivée d’un quotient). Évaluer le comportement limite. Le comportement dominant de chaque terme détermine la limite. Identifier la valeur. L prime expression réécrite tend vers 2, ce qui équivaut à 2 à 10 puissance moins 6 près; les valeurs numériques convergentes ci-dessous le confirment.

La réponse. La réponse est donc Limite égale 2. Une limite décrit la valeur dont une fonction s’approche, pas nécessairement la valeur qu’elle prend. Lorsque la substitution donne une forme indéterminée, l’expression est réécrite (règle de L’Hôpital, quantité conjuguée ou logarithmes) jusqu’à ce que la substitution fonctionne.

Vérification. Les valeurs numériques quand x grandit concordent: f(127.18281) égale 1.9845171, f(1271.8281) égale 1.9984299, f(12718.281) égale 1.9998428, f(127182.81) égale 1.9999843, ce qui est vérifié.

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