VecteursAlgèbre linéaireUniversité≈ 0:41

Trouver le produit scalaire et l'angle entre ⟨1, 0, 1⟩ et ⟨0, 1, 1⟩

Une leçon animée pas à pas. Appuyez sur Lecture pour voir chaque étape avec sous-titres, ou lisez les étapes et la transcription ci-dessous. Réponse: u · v = 1, angle ≈ 60°.

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Problème original (anglais) : Trouver le produit scalaire et l'angle entre ⟨1, 0, 1⟩ et ⟨0, 1, 1⟩

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Étapes à l’écran

1. Le problème
Exemple résolu
Trouver le produit scalaire et l'angle entre ⟨1, 0, 1⟩ et ⟨0, 1, 1⟩
2. Étapes, partie 1
1. $(1)(0) + (0)(1) + (1)(1)$
  Multiplier les composantes correspondantes
2. $u v = 0 + 0 + 1 = 1$
  Additionner les produits
3. $|u| = \sqrt{2} = \sqrt{2} \approx 1.414213562,\quad |v| = \sqrt{2} = \sqrt{2} \approx 1.414213562$
  Calculer les normes
4. $\cos\theta = \frac{u v}{|u||v|} = \frac{1}{2} \approx 0.5 \Rightarrow \theta \approx 60° \ (1.0471976\text{ rad})$
  Angle entre les vecteurs
3. Étapes, partie 2
1. $\operatorname{comp}_v u = \frac{u v}{|v|} \approx 0.70710678,\quad \operatorname{proj}_v u = \frac{u v}{|v|^2}v = \langle 0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \rangle$
  Projection scalaire et projection orthogonale de u sur v
4. La réponse
$u v = 1$
u·v = 1
5. Vérification
- Calculé de façon exacte ; le produit scalaire est symétrique, donc v·u donne la même valeur.

Transcription

Le problème. Voici le problème : Trouver le produit scalaire et l prime angle entre ⟨1, 0, 1⟩ et ⟨0, 1, 1⟩. Produit scalaire de deux vecteurs de dimension 3.

Étapes, partie 1. Multiplier les composantes correspondantes. Additionner les produits. Calculer les normes. Angle entre les vecteurs.

Étapes, partie 2. Projection scalaire et projection orthogonale de u sur v.

La réponse. La réponse est donc u fois v égale 1, angle environ 60°. Le produit scalaire est positif: l’angle entre les vecteurs est donc aigu.

Vérification. Calculé de façon exacte; le produit scalaire est symétrique, donc v fois u donne la même valeur.

Étapes à l’écran

Transcription

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