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Résoudre un problème
VecteursAlgèbre linéaireUniversité≈ 0:55

Trouver le produit vectoriel de ⟨1, 2, 3⟩ et ⟨4, 5, 6⟩

Une leçon animée pas à pas. Appuyez sur Lecture pour voir chaque étape avec sous-titres, ou lisez les étapes et la transcription ci-dessous. Réponse: u × v = ⟨-3, 6, -3⟩.

Vidéo enregistrée : la voix et l'écriture à l'écran sont en anglais. Sous-titres : Français. Pour une narration dans cette langue, ouvrez la version interactive.

Problème original (anglais) : Trouver le produit vectoriel de ⟨1, 2, 3⟩ et ⟨4, 5, 6⟩

Vidéo en anglais : Télécharger MP4 (0.4 MB) · Sous-titres (WebVTT) : Français · Sous-titres anglais (WebVTT)

Étapes à l’écran

  1. 1. Le problème
    Exemple résolu
    Trouver le produit vectoriel de ⟨1, 2, 3⟩ et ⟨4, 5, 6⟩
  2. 2. Étapes, partie 1
    1. u×v=∣ijk123456∣u \times v = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{vmatrix}
      Écrire le déterminant avec les vecteurs unitaires i, j, k sur la première ligne
    2. (2)(6)−(3)(5)=−3(2)(6) - (3)(5) = -3
      Composante i
    3. −((1)(6)−(3)(4))=6-\big((1)(6) - (3)(4)\big) = 6
      Composante j (attention au signe moins du développement)
    4. (1)(5)−(2)(4)=−3(1)(5) - (2)(4) = -3
      Composante k
  3. 3. Étapes, partie 2
    1. ∣u×v∣=54=36≈7.348469228|u \times v| = \sqrt{54} = 3\sqrt{6} \approx 7.348469228
      Norme = aire du parallélogramme engendré par u et v
    2. (u×v)u=0,(u×v)v=0(u\times v) u = 0,\quad (u\times v) v = 0
      Vérifier l’orthogonalité
  4. 4. La réponse
    u×v=⟨−3,6,−3⟩u \times v = \langle -3, 6, -3 \rangle

    u×v = ⟨-3, 6, -3⟩

  5. 5. Vérification
    • Le résultat est orthogonal aux deux vecteurs donnés (les deux produits scalaires valent 0).

Transcription

Le problème. Voici le problème : Trouver le produit vectoriel de ⟨1, 2, 3⟩ et ⟨4, 5, 6⟩. Produit vectoriel de deux vecteurs 3D.

Étapes, partie 1. Écrire le déterminant avec les vecteurs unitaires i, j, k sur la première ligne. Composante i. Composante j (attention au signe moins du développement). Composante k.

Étapes, partie 2. Norme égale aire du parallélogramme engendré par u et v. Vérifier l’orthogonalité.

La réponse. La réponse est donc u fois v égale ⟨-3, 6, moins 3⟩. Le résultat est orthogonal à u et à v; sa norme 3la racine carrée de 6 environ 7.348469228 est l’aire du parallélogramme qu’ils engendrent (le triangle a une aire moitié moindre).

Vérification. Le résultat est orthogonal aux deux vecteurs donnés (les deux produits scalaires valent 0).

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