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Résoudre un problème
VecteursAlgèbre linéaireUniversité≈ 0:42

Trouver le produit scalaire et l'angle entre ⟨2, -1⟩ et ⟨1, 3⟩

Une leçon animée pas à pas. Appuyez sur Lecture pour voir chaque étape avec sous-titres, ou lisez les étapes et la transcription ci-dessous. Réponse: u · v = -1, angle ≈ 98.130102°.

Vidéo enregistrée : la voix et l'écriture à l'écran sont en anglais. Sous-titres : Français. Pour une narration dans cette langue, ouvrez la version interactive.

Problème original (anglais) : Trouver le produit scalaire et l'angle entre ⟨2, -1⟩ et ⟨1, 3⟩

Vidéo en anglais : Télécharger MP4 (0.3 MB) · Sous-titres (WebVTT) : Français · Sous-titres anglais (WebVTT)

Étapes à l’écran

  1. 1. Le problème
    Exemple résolu
    Trouver le produit scalaire et l'angle entre ⟨2, -1⟩ et ⟨1, 3⟩
  2. 2. Étapes, partie 1
    1. (2)(1)+(−1)(3)(2)(1) + (-1)(3)
      Multiplier les composantes correspondantes
    2. uv=2−3=−1u v = 2 - 3 = -1
      Additionner les produits
    3. ∣u∣=5=5≈2.236067977,∣v∣=10=10≈3.16227766|u| = \sqrt{5} = \sqrt{5} \approx 2.236067977,\quad |v| = \sqrt{10} = \sqrt{10} \approx 3.16227766
      Calculer les normes
    4. cos⁡θ=uv∣u∣∣v∣=−17.0710678≈−0.14142136⇒θ≈98.130102° (1.7126934 rad)\cos\theta = \frac{u v}{|u||v|} = \frac{-1}{7.0710678} \approx -0.14142136 \Rightarrow \theta \approx 98.130102° \ (1.7126934\text{ rad})
      Angle entre les vecteurs
  3. 3. Étapes, partie 2
    1. comp⁡vu=uv∣v∣≈−0.31622777,proj⁡vu=uv∣v∣2v=⟨−110,−310⟩\operatorname{comp}_v u = \frac{u v}{|v|} \approx -0.31622777,\quad \operatorname{proj}_v u = \frac{u v}{|v|^2}v = \langle -\frac{1}{10}, -\frac{3}{10} \rangle
      Projection scalaire et projection orthogonale de u sur v
  4. 4. La réponse
    uv=−1u v = -1

    u·v = -1

  5. 5. Vérification
    • Calculé de façon exacte ; le produit scalaire est symétrique, donc v·u donne la même valeur.

Transcription

Le problème. Voici le problème : Trouver le produit scalaire et l prime angle entre ⟨2, moins 1⟩ et ⟨1, 3⟩. Produit scalaire de deux vecteurs de dimension 2.

Étapes, partie 1. Multiplier les composantes correspondantes. Additionner les produits. Calculer les normes. Angle entre les vecteurs.

Étapes, partie 2. Projection scalaire et projection orthogonale de u sur v.

La réponse. La réponse est donc u fois v égale moins 1, angle environ 98.130102°. Le produit scalaire est négatif: l’angle entre les vecteurs est donc obtus.

Vérification. Calculé de façon exacte; le produit scalaire est symétrique, donc v fois u donne la même valeur.

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