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Résoudre un problème
VecteursAlgèbre linéaireUniversité≈ 0:55

Trouver le produit vectoriel de ⟨-2, 3, 1⟩ et ⟨4, 0, -5⟩

Une leçon animée pas à pas. Appuyez sur Lecture pour voir chaque étape avec sous-titres, ou lisez les étapes et la transcription ci-dessous. Réponse: u × v = ⟨-15, -6, -12⟩.

Vidéo enregistrée : la voix et l'écriture à l'écran sont en anglais. Sous-titres : Français. Pour une narration dans cette langue, ouvrez la version interactive.

Problème original (anglais) : Trouver le produit vectoriel de ⟨-2, 3, 1⟩ et ⟨4, 0, -5⟩

Vidéo en anglais : Télécharger MP4 (0.4 MB) · Sous-titres (WebVTT) : Français · Sous-titres anglais (WebVTT)

Étapes à l’écran

  1. 1. Le problème
    Exemple résolu
    Trouver le produit vectoriel de ⟨-2, 3, 1⟩ et ⟨4, 0, -5⟩
  2. 2. Étapes, partie 1
    1. u×v=∣ijk−23140−5∣u \times v = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ -2 & 3 & 1 \\ 4 & 0 & -5 \end{vmatrix}
      Écrire le déterminant avec les vecteurs unitaires i, j, k sur la première ligne
    2. (3)(−5)−(1)(0)=−15(3)(-5) - (1)(0) = -15
      Composante i
    3. −((−2)(−5)−(1)(4))=−6-\big((-2)(-5) - (1)(4)\big) = -6
      Composante j (attention au signe moins du développement)
    4. (−2)(0)−(3)(4)=−12(-2)(0) - (3)(4) = -12
      Composante k
  3. 3. Étapes, partie 2
    1. ∣u×v∣=405=95≈20.1246118|u \times v| = \sqrt{405} = 9\sqrt{5} \approx 20.1246118
      Norme = aire du parallélogramme engendré par u et v
    2. (u×v)u=0,(u×v)v=0(u\times v) u = 0,\quad (u\times v) v = 0
      Vérifier l’orthogonalité
  4. 4. La réponse
    u×v=⟨−15,−6,−12⟩u \times v = \langle -15, -6, -12 \rangle

    u×v = ⟨-15, -6, -12⟩

  5. 5. Vérification
    • Le résultat est orthogonal aux deux vecteurs donnés (les deux produits scalaires valent 0).

Transcription

Le problème. Voici le problème : Trouver le produit vectoriel de ⟨-2, 3, 1⟩ et ⟨4, 0, moins 5⟩. Produit vectoriel de deux vecteurs 3D.

Étapes, partie 1. Écrire le déterminant avec les vecteurs unitaires i, j, k sur la première ligne. Composante i. Composante j (attention au signe moins du développement). Composante k.

Étapes, partie 2. Norme égale aire du parallélogramme engendré par u et v. Vérifier l’orthogonalité.

La réponse. La réponse est donc u fois v égale ⟨-15, moins 6, moins 12⟩. Le résultat est orthogonal à u et à v; sa norme 9la racine carrée de 5 environ 20.1246118 est l’aire du parallélogramme qu’ils engendrent (le triangle a une aire moitié moindre).

Vérification. Le résultat est orthogonal aux deux vecteurs donnés (les deux produits scalaires valent 0).

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