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Résoudre un problème
VecteursAlgèbre linéaireUniversité≈ 0:56

Trouver le produit vectoriel de ⟨0, 2, 5⟩ et ⟨1, -1, 3⟩

Une leçon animée pas à pas. Appuyez sur Lecture pour voir chaque étape avec sous-titres, ou lisez les étapes et la transcription ci-dessous. Réponse: u × v = ⟨11, 5, -2⟩.

Vidéo enregistrée : la voix et l'écriture à l'écran sont en anglais. Sous-titres : Français. Pour une narration dans cette langue, ouvrez la version interactive.

Problème original (anglais) : Trouver le produit vectoriel de ⟨0, 2, 5⟩ et ⟨1, -1, 3⟩

Vidéo en anglais : Télécharger MP4 (0.4 MB) · Sous-titres (WebVTT) : Français · Sous-titres anglais (WebVTT)

Étapes à l’écran

  1. 1. Le problème
    Exemple résolu
    Trouver le produit vectoriel de ⟨0, 2, 5⟩ et ⟨1, -1, 3⟩
  2. 2. Étapes, partie 1
    1. u×v=∣ijk0251−13∣u \times v = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ 0 & 2 & 5 \\ 1 & -1 & 3 \end{vmatrix}
      Écrire le déterminant avec les vecteurs unitaires i, j, k sur la première ligne
    2. (2)(3)−(5)(−1)=11(2)(3) - (5)(-1) = 11
      Composante i
    3. −((0)(3)−(5)(1))=5-\big((0)(3) - (5)(1)\big) = 5
      Composante j (attention au signe moins du développement)
    4. (0)(−1)−(2)(1)=−2(0)(-1) - (2)(1) = -2
      Composante k
  3. 3. Étapes, partie 2
    1. ∣u×v∣=150=56≈12.24744871|u \times v| = \sqrt{150} = 5\sqrt{6} \approx 12.24744871
      Norme = aire du parallélogramme engendré par u et v
    2. (u×v)u=0,(u×v)v=0(u\times v) u = 0,\quad (u\times v) v = 0
      Vérifier l’orthogonalité
  4. 4. La réponse
    u×v=⟨11,5,−2⟩u \times v = \langle 11, 5, -2 \rangle

    u×v = ⟨11, 5, -2⟩

  5. 5. Vérification
    • Le résultat est orthogonal aux deux vecteurs donnés (les deux produits scalaires valent 0).

Transcription

Le problème. Voici le problème : Trouver le produit vectoriel de ⟨0, 2, 5⟩ et ⟨1, moins 1, 3⟩. Produit vectoriel de deux vecteurs 3D.

Étapes, partie 1. Écrire le déterminant avec les vecteurs unitaires i, j, k sur la première ligne. Composante i. Composante j (attention au signe moins du développement). Composante k.

Étapes, partie 2. Norme égale aire du parallélogramme engendré par u et v. Vérifier l’orthogonalité.

La réponse. La réponse est donc u fois v égale ⟨11, 5, moins 2⟩. Le résultat est orthogonal à u et à v; sa norme 5la racine carrée de 6 environ 12.24744871 est l’aire du parallélogramme qu’ils engendrent (le triangle a une aire moitié moindre).

Vérification. Le résultat est orthogonal aux deux vecteurs donnés (les deux produits scalaires valent 0).

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