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Résoudre un problème
Systèmes d’équationsAlgèbreLycée≈ 1:08

Résoudre le système x - 2y = 1, 2x - 4y = 5

Une leçon animée pas à pas. Appuyez sur Lecture pour voir chaque étape avec sous-titres, ou lisez les étapes et la transcription ci-dessous. Réponse: Aucune solution (le système est incompatible).

Vidéo enregistrée : la voix et l'écriture à l'écran sont en anglais. Sous-titres : Français. Pour une narration dans cette langue, ouvrez la version interactive.

Vidéo en anglais : Télécharger MP4 (0.5 MB) · Sous-titres (WebVTT) : Français · Sous-titres anglais (WebVTT)

Étapes à l’écran

  1. 1. Le problème
    Exemple résolu
    {x−2y=12x−4y=5\begin{cases} x-2y = 1 \\ 2x-4y = 5 \end{cases}
  2. 2. Étapes, partie 1
    1. {x−2y=12x−4y=5\begin{cases} x - 2y = 1 \\ 2x - 4y = 5 \end{cases}
      Écrire chaque équation sous forme standard
    2. [1−212−45]\begin{bmatrix}1 & -2 & 1 \\ 2 & -4 & 5\end{bmatrix}
      Construire la matrice augmentée [A | b]
    3. Méthode de Gauss-Jordan
    4. R2→R2−2R1: [1−21003]R_{2} \to R_{2} - 2R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix}
      Annuler la colonne 1 à l’aide du pivot de R1
  3. 3. Étapes, partie 2
    1. R2→13R2: [1−21001]R_{2} \to \tfrac{1}{3} R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}
      Diviser R2 par 3
    2. R1→R1−1R2: [1−20001]R_{1} \to R_{1} - 1R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}
      Annuler la colonne 3 à l’aide du pivot de R2
    3. [1−20001]\begin{bmatrix}1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}
      Forme échelonnée réduite
    4. Une ligne donne 0 = non nul
  4. 4. La réponse
    Aucune solution\text{Aucune solution}

    x - 2y = 1; 2x - 4y = 5 ⇒ No solution (the system is inconsistent)

  5. 5. Vérification
    • Les lignes de coefficients sont liées mais pas les constantes : c’est la signature de droites ou de plans parallèles.

Transcription

Le problème. Voici le problème : Résoudre le système x moins 2y égale 1, 2x moins 4y égale 5. 2 équations linéaires à 2 inconnues (x, y).

Étapes, partie 1. Écrire chaque équation sous forme standard. Passer tous les termes en variables à gauche et les constantes à droite. Construire la matrice augmentée [A | b]. Colonnes: x, y | constante. Méthode de Gauss-Jordan. Utiliser des opérations sur les lignes pour rendre chaque pivot égal à 1 et annuler le reste de sa colonne. Annuler la colonne 1 à l’aide du pivot de R1.

Étapes, partie 2. Diviser R2 par 3. Annuler la colonne 3 à l’aide du pivot de R2. Forme échelonnée réduite. Une ligne donne 0 égale non nul. La ligne 2 donne 0 égale 1, ce qui est impossible: les équations se contredisent.

La réponse. La réponse est donc Aucune solution (le système est incompatible). Les équations se contredisent: aucune valeur ne les vérifie toutes à la fois.

Vérification. Les lignes de coefficients sont liées mais pas les constantes: c’est la signature de droites ou de plans parallèles.

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