अवकलजकलनकॉलेज≈ 1:42

(arctan(x²+x+1))(ln(eˣ+1)) का अवकलज

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1. प्रश्न
हल किया गया उदाहरण
$\frac{d}{dx}\left[\tan^{-1}\left({x}^{2}+ x+1\right) \ln\left({e}^{x}+1\right)\right]$
2. चरण, भाग 1
1. $\frac{d}{dx}\left[\tan^{-1}\left({x}^{2}+ x+1\right) \ln\left({e}^{x}+1\right)\right] = \frac{\left(2x+1\right) \ln\left({e}^{x}+1\right)}{{\left({x}^{2}+ x+1\right)}^{2}+1}+\frac{\tan^{-1}\left({x}^{2}+ x+1\right) {e}^{x}}{{e}^{x}+1}$
  गुणनफल नियम: (uv)′ = u′v + uv′
2. $\frac{d}{dx}\left[\ln\left({e}^{x}+1\right)\right] = \frac{{e}^{x}}{{e}^{x}+1}$
  श्रृंखला नियम — d/dx[ln u] = u′/u
3. $\frac{d}{dx}\left[{e}^{x}+1\right] = {e}^{x}$
  योग नियम: हर पद का अलग-अलग अवकलन करें
4. $\frac{d}{dx}\left[{e}^{x}\right] = {e}^{x}$
  चरघातांकी नियम: d/dx[eᵘ] = eᵘ·u′
3. चरण, भाग 2
1. $\frac{d}{dx}\left[\tan^{-1}\left({x}^{2}+ x+1\right)\right] = \frac{2x+1}{{\left({x}^{2}+ x+1\right)}^{2}+1}$
  श्रृंखला नियम — d/dx[arctan u] = u′/(1 + u²)
2. $\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}+ x+1\right] = 2x+1$
  योग नियम: हर पद का अलग-अलग अवकलन करें
3. $\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}+ x\right] = 2x+1$
  योग नियम: हर पद का अलग-अलग अवकलन करें
4. $\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}\right] = 2x$
  घात नियम: d/dx[xⁿ] = n·xⁿ⁻¹
4. चरण, भाग 3
1. $f'(x) = \frac{\left(2x+1\right) \ln\left({e}^{x}+1\right)}{{\left({x}^{2}+ x+1\right)}^{2}+1}+\frac{\tan^{-1}\left({x}^{2}+ x+1\right) {e}^{x}}{{e}^{x}+1}$
  मिलाएँ और सरल करें
5. उत्तर
$f'(x) = \frac{\left(2x+1\right) \ln\left({e}^{x}+1\right)}{{\left({x}^{2}+ x+1\right)}^{2}+1}+\frac{\tan^{-1}\left({x}^{2}+ x+1\right) {e}^{x}}{{e}^{x}+1}$
f'(x) = (2x + 1)·ln(e^x + 1) / ((x² + x + 1)² + 1) + atan(x² + x + 1)·e^x / (e^x + 1)
6. जाँच
- 8 नमूना बिंदुओं पर एक स्वतंत्र प्रतीकात्मक अवकलक से संख्यात्मक रूप से मिलान किया गया ✓

ट्रांसक्रिप्ट

प्रश्न. यह रहा प्रश्न: (arctan(x का वर्ग जमा x जमा 1))(ln(e की घात x जमा 1)) का अवकलज. x के सापेक्ष (atan(x का वर्ग जमा x जमा 1)) (ln(e की घात x जमा 1)) का अवकलज निकालें।

चरण, भाग 1. गुणनफल नियम: (uv) डैश बराबर u डैश v जमा uv डैश. श्रृंखला नियम — x के सापेक्ष अवकलज[ln u] बराबर u डैश /u. योग नियम: हर पद का अलग-अलग अवकलन करें. चरघातांकी नियम: x के सापेक्ष अवकलज[eᵘ] बराबर eᵘ गुणा u डैश.

चरण, भाग 2. श्रृंखला नियम — x के सापेक्ष अवकलज[arctan u] बराबर u डैश /(1 जमा u का वर्ग). योग नियम: हर पद का अलग-अलग अवकलन करें. योग नियम: हर पद का अलग-अलग अवकलन करें. घात नियम: x के सापेक्ष अवकलज[x की घात n] बराबर n गुणा x की घात n घटा 1.

चरण, भाग 3. मिलाएँ और सरल करें.

उत्तर. तो उत्तर है f का अवकलज बराबर (2x जमा 1) गुणा ln(e की घात x जमा 1) / ((x का वर्ग जमा x जमा 1) का वर्ग जमा 1) जमा atan(x का वर्ग जमा x जमा 1) गुणा e की घात x / (e की घात x जमा 1). अवकलज बाहर से भीतर की ओर बनता है: योग पदों में बँटते हैं, अचर बाहर आ जाते हैं, गुणनफलों और भागफलों के अपने नियम लगते हैं, और हर संयुक्त फलन अपने भीतरी भाग के अवकलज से गुणा होता है (श्रृंखला नियम)।

जाँच. 8 नमूना बिंदुओं पर एक स्वतंत्र प्रतीकात्मक अवकलक से संख्यात्मक रूप से मिलान किया गया, जो सही है.

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