अनुक्रम और श्रेणीबीजगणितकॉलेज≈ 1:37

1/3ⁿ का n=1 से ∞ तक योग ज्ञात करें

एक एनिमेटेड चरण-दर-चरण पाठ। हर चरण कैप्शन के साथ देखने के लिए चलाएँ दबाएँ, या नीचे चरण और ट्रांसक्रिप्ट पढ़ें। उत्तर: श्रेणी अभिसारी है (गुणोत्तर श्रेणी (|r| < 1)); योग = 1/2.

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1. प्रश्न
हल किया गया उदाहरण
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{3}^{n}}$
2. चरण दर चरण
1. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{3}^{n}}$
  श्रेणी लिखें
2. $S = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{2}$
  गुणोत्तर श्रेणी पहचानें
3. उत्तर
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{3}^{n}} \ \text{अभिसरित} = \frac{1}{2}$
geometric series (|r| < 1) ⇒ converges, S = 1/2
4. जाँच
- आंशिक योग (सहायक प्रमाण, उपपत्ति नहीं): S₁₀ = 0.49999153, S₁₀₀ = 0.5, S₁₀₀₀ = 0.5, S₁₀₀₀₀ = 0.5

ट्रांसक्रिप्ट

प्रश्न. यह रहा प्रश्न: 1 बटा 3 की घात n का n बराबर 1 से अनंत तक योग ज्ञात करें. तय करें कि 1 से ∞) तक Σ 1 बटा 3 की घात n (n अभिसरित होती है या अपसरित।

चरण दर चरण. श्रेणी लिखें. n बराबर 1, 2, 3, … के लिए Σ a(n), जहाँ a(n) बराबर 1 बटा 3 की घात n। पहले पद: 0.333333, 0.111111, 0.037037, 0.0123457, …. गुणोत्तर श्रेणी पहचानें. हर पद पिछले पद का r बराबर 1 बटा 3 गुना है (पहले 40 पदों के लिए जाँचा गया), और पहला पद a बराबर 1 बटा 3 है। चूँकि |r| से कम 1, श्रेणी अभिसरित होती है, और उसका योग a/(1 घटा r) बराबर 1 बटा 2 लगभग 0.5 है।

उत्तर. तो उत्तर है श्रेणी अभिसारी है (गुणोत्तर श्रेणी (|r| से कम 1)); योग बराबर 1 बटा 2. श्रेणी तब अभिसरित होती है जब उसके आंशिक योग किसी परिमित संख्या के निकट पहुँचें। इसके लिए पदों का 0 की ओर जाना ज़रूरी है, पर केवल इतना पर्याप्त नहीं (हरात्मक श्रेणी अपसरित होती है), इसलिए निर्णय के लिए तुलना, अनुपात, मूल, एकांतर या समाकल परीक्षण का उपयोग होता है।

जाँच. आंशिक योग (सहायक प्रमाण, उपपत्ति नहीं): S₁₀ बराबर 0.49999153, S₁₀₀ बराबर 0.5, S₁₀₀₀ बराबर 0.5, S₁₀₀₀₀ बराबर 0.5.

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