n=0 से अनंत तक 1/n! का योग ज्ञात कीजिए

प्रश्न. यह रहा प्रश्न: n बराबर 0 से अनंत तक 1/n! का योग ज्ञात कीजिए. तय करें कि 0 से ∞) तक Σ 1 / n! (n अभिसरित होती है या अपसरित।

चरण दर चरण. श्रेणी लिखें. n बराबर 0, 1, 2, … के लिए Σ a(n), जहाँ a(n) बराबर 1 / n!। पहले पद: 1, 1, 0.5, 0.166667, …. n-वाँ पद परीक्षण. lim a(n) बराबर 0, इसलिए अपसरण परीक्षण से कोई निष्कर्ष नहीं निकलता; पद घटते तो हैं, इसलिए अधिक सूक्ष्म परीक्षण चाहिए। अनुपात परीक्षण. धनात्मक पद: a(n जमा 1)/a(n) सरल होकर 1 / (n जमा 1) बनता है, और n → ∞ पर उसकी सीमा L बराबर 0 है। L से कम 1, इसलिए श्रेणी (निरपेक्ष रूप से) अभिसरित होती है। योग का संख्यात्मक अनुमान लगाएँ. आंशिक योग S N कई N के लिए निकाले गए और N → ∞ तक बहिर्वेशित किए गए (रिचर्डसन बहिर्वेशन; एकांतर पदों का पहले औसत लिया जाता है)। दो स्वतंत्र बहिर्वेशन 10 की घात घटा 10 से बेहतर मेल खाते हैं और S लगभग 2.718281828 देते हैं। दिखाया गया बंद रूप एक संख्यात्मक पहचान है, प्रमाण नहीं।

उत्तर. तो उत्तर है श्रेणी अभिसारी है (अनुपात परीक्षण); योग लगभग 2.718281828 (मेल खाता है e 10+ अंकों तक). श्रेणी तब अभिसरित होती है जब उसके आंशिक योग किसी परिमित संख्या के निकट पहुँचें। इसके लिए पदों का 0 की ओर जाना ज़रूरी है, पर केवल इतना पर्याप्त नहीं (हरात्मक श्रेणी अपसरित होती है), इसलिए निर्णय के लिए तुलना, अनुपात, मूल, एकांतर या समाकल परीक्षण का उपयोग होता है।

जाँच. आंशिक योग (सहायक प्रमाण, उपपत्ति नहीं): S₁₀ बराबर 2.7182815, S₁₀₀ बराबर 2.7182818, S₁₀₀₀ बराबर 2.7182818, S₁₀₀₀₀ बराबर 2.7182818.