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अनुक्रम और श्रेणीबीजगणितकॉलेज≈ 1:59

1/√(n) का n=1 से ∞ तक योग ज्ञात करें

एक एनिमेटेड चरण-दर-चरण पाठ। हर चरण कैप्शन के साथ देखने के लिए चलाएँ दबाएँ, या नीचे चरण और ट्रांसक्रिप्ट पढ़ें। उत्तर: श्रेणी अपसारी है (इसके साथ तुलना Σ 1/n).

रिकॉर्ड किया गया वीडियो: आवाज़ और चित्र में लिखावट अंग्रेज़ी में है। उपशीर्षक: हिन्दी। इस भाषा में वर्णन के लिए, इंटरैक्टिव संस्करण खोलें।

अंग्रेज़ी वीडियो: MP4 डाउनलोड करें (0.7 MB) · उपशीर्षक (WebVTT): हिन्दी · अंग्रेज़ी कैप्शन (WebVTT)

स्क्रीन पर चरण

  1. 1. प्रश्न
    हल किया गया उदाहरण
    ∑n=1∞1n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}
  2. 2. चरण दर चरण
    1. ∑n=1∞1n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}
      श्रेणी लिखें
    2. lim⁡n→∞1n=0\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0
      n-वाँ पद परीक्षण
    3. lim⁡n→∞an1/n=∞\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1/n} = \infty
      p-श्रेणी से सीमा तुलना
  3. 3. उत्तर
    ∑n=1∞1n अपसरित\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \ \text{अपसरित}

    comparison with Σ 1/n ⇒ diverges

  4. 4. जाँच
    • आंशिक योग (सहायक प्रमाण, उपपत्ति नहीं): S₁₀ = 5.0209979, S₁₀₀ = 18.589604, S₁₀₀₀ = 61.801009, S₁₀₀₀₀ = 198.54465

ट्रांसक्रिप्ट

प्रश्न. यह रहा प्रश्न: 1/sqrt(n) का n बराबर 1 से अनंत तक योग ज्ञात करें. तय करें कि 1 से ∞) तक Σ 1 / sqrt(n) (n अभिसरित होती है या अपसरित।

चरण दर चरण. श्रेणी लिखें. n बराबर 1, 2, 3, … के लिए Σ a(n), जहाँ a(n) बराबर 1 / sqrt(n)। पहले पद: 1, 0.707107, 0.57735, 0.5, …. n-वाँ पद परीक्षण. lim a(n) बराबर 0, इसलिए अपसरण परीक्षण से कोई निष्कर्ष नहीं निकलता; पद घटते तो हैं, इसलिए अधिक सूक्ष्म परीक्षण चाहिए। p-श्रेणी से सीमा तुलना. धनात्मक पद: इसके बजाय Σ 1/n से तुलना करें: lim a(n) गुणा n बराबर ∞। सीमा ∞ है, इसलिए अंततः पद 1/n से बड़े हैं; वह p-श्रेणी अपसरित होती है (p से कम या बराबर 1), इसलिए यह भी होती है।

उत्तर. तो उत्तर है श्रेणी अपसारी है (इसके साथ तुलना Σ 1/n). श्रेणी तब अभिसरित होती है जब उसके आंशिक योग किसी परिमित संख्या के निकट पहुँचें। इसके लिए पदों का 0 की ओर जाना ज़रूरी है, पर केवल इतना पर्याप्त नहीं (हरात्मक श्रेणी अपसरित होती है), इसलिए निर्णय के लिए तुलना, अनुपात, मूल, एकांतर या समाकल परीक्षण का उपयोग होता है।

जाँच. आंशिक योग (सहायक प्रमाण, उपपत्ति नहीं): S₁₀ बराबर 5.0209979, S₁₀₀ बराबर 18.589604, S₁₀₀₀ बराबर 61.801009, S₁₀₀₀₀ बराबर 198.54465.

ऐसे ही और पाठ

1/√(n) का n=1 से ∞ तक योग ज्ञात करें — चरण-दर-चरण वीडियो पाठ