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अनुक्रम और श्रेणीबीजगणितकॉलेज≈ 2:47

1/n⁴ का n=1 से ∞ तक योग ज्ञात करें

एक एनिमेटेड चरण-दर-चरण पाठ। हर चरण कैप्शन के साथ देखने के लिए चलाएँ दबाएँ, या नीचे चरण और ट्रांसक्रिप्ट पढ़ें। उत्तर: श्रेणी अभिसारी है (इसके साथ सीमा तुलना Σ 1/n^4); योग ≈ 1.082323234 (मेल खाता है π⁴/90 10+ अंकों तक).

रिकॉर्ड किया गया वीडियो: आवाज़ और चित्र में लिखावट अंग्रेज़ी में है। उपशीर्षक: हिन्दी। इस भाषा में वर्णन के लिए, इंटरैक्टिव संस्करण खोलें।

अंग्रेज़ी वीडियो: MP4 डाउनलोड करें (1.0 MB) · उपशीर्षक (WebVTT): हिन्दी · अंग्रेज़ी कैप्शन (WebVTT)

स्क्रीन पर चरण

  1. 1. प्रश्न
    हल किया गया उदाहरण
    ∑n=1∞1n4\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{n}^{4}}
  2. 2. चरण दर चरण
    1. ∑n=1∞1n4\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{n}^{4}}
      श्रेणी लिखें
    2. lim⁡n→∞1n4=0\lim_{n\to\infty} \frac{1}{{n}^{4}} = 0
      n-वाँ पद परीक्षण
    3. lim⁡n→∞an1/n4=1\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1/n^{4}} = 1
      p-श्रेणी से सीमा तुलना
    4. योग का संख्यात्मक अनुमान लगाएँ
  3. 3. उत्तर
    ∑n=1∞1n4 अभिसरित≈1.082323234\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{n}^{4}} \ \text{अभिसरित} \approx 1.082323234

    limit comparison with Σ 1/n^4 ⇒ converges, S ≈ 1.082323234 (matches π⁴/90 to 10+ digits)

  4. 4. जाँच
    • आंशिक योग (सहायक प्रमाण, उपपत्ति नहीं): S₁₀ = 1.0820366, S₁₀₀ = 1.0823229, S₁₀₀₀ = 1.0823232, S₁₀₀₀₀ = 1.0823232

ट्रांसक्रिप्ट

प्रश्न. यह रहा प्रश्न: 1/n की घात 4 का n बराबर 1 से अनंत तक योग ज्ञात करें. तय करें कि क्या Σ 1 / n की घात 4 (n 1 से ∞) तक अभिसरित होती है या अपसरित।

चरण दर चरण. श्रेणी लिखें. n बराबर 1, 2, 3, … के लिए Σ a(n), जहाँ a(n) बराबर 1 / n की घात 4। पहले पद: 1, 0.0625, 0.0123457, 0.00390625, …. n-वाँ पद परीक्षण. lim a(n) बराबर 0, इसलिए अपसरण परीक्षण से कोई निष्कर्ष नहीं निकलता; पद घटते तो हैं, इसलिए अधिक सूक्ष्म परीक्षण चाहिए। p-श्रेणी से सीमा तुलना. धनात्मक पद: पद लगभग 1/n की घात 4 की तरह घटते हैं (a(2N)/a(N)) से अनुमानित, इसलिए Σ 1/n की घात 4 से तुलना करें: lim a(n) गुणा n की घात 4 बराबर 1। सीमा एक धनात्मक परिमित संख्या है, इसलिए श्रेणी ठीक p-श्रेणी Σ 1/n की घात 4 की तरह व्यवहार करती है, जो अभिसरित होती है क्योंकि p से अधिक 1। योग का संख्यात्मक अनुमान लगाएँ. आंशिक योग S N कई N के लिए निकाले गए और N → ∞ तक बहिर्वेशित किए गए (रिचर्डसन बहिर्वेशन; एकांतर पदों का पहले औसत लिया जाता है)। दो स्वतंत्र बहिर्वेशन 10 की घात घटा 10 से बेहतर मेल खाते हैं और S लगभग 1.082323234 देते हैं। दिखाया गया बंद रूप एक संख्यात्मक पहचान है, प्रमाण नहीं।

उत्तर. तो उत्तर है श्रेणी अभिसारी है (इसके साथ सीमा तुलना Σ 1/n की घात 4; योग लगभग 1.082323234 (मेल खाता है पाई की घात 4 बटा 90 10+ अंकों तक). श्रेणी तब अभिसरित होती है जब उसके आंशिक योग किसी परिमित संख्या के निकट पहुँचें। इसके लिए पदों का 0 की ओर जाना ज़रूरी है, पर केवल इतना पर्याप्त नहीं (हरात्मक श्रेणी अपसरित होती है), इसलिए निर्णय के लिए तुलना, अनुपात, मूल, एकांतर या समाकल परीक्षण का उपयोग होता है।

जाँच. आंशिक योग (सहायक प्रमाण, उपपत्ति नहीं): S₁₀ बराबर 1.0820366, S₁₀₀ बराबर 1.0823229, S₁₀₀₀ बराबर 1.0823232, S₁₀₀₀₀ बराबर 1.0823232.

ऐसे ही और पाठ

1/n⁴ का n=1 से ∞ तक योग ज्ञात करें — चरण-दर-चरण वीडियो पाठ