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अनुक्रम और श्रेणीबीजगणितकॉलेज≈ 3:06

(-1)ⁿ/n का n=1 से ∞ तक योग ज्ञात करें

एक एनिमेटेड चरण-दर-चरण पाठ। हर चरण कैप्शन के साथ देखने के लिए चलाएँ दबाएँ, या नीचे चरण और ट्रांसक्रिप्ट पढ़ें। उत्तर: श्रेणी सप्रतिबंध अभिसारी है (एकांतर श्रेणी परीक्षण); योग ≈ -0.6931471806 (मेल खाता है −ln(2) 10+ अंकों तक).

रिकॉर्ड किया गया वीडियो: आवाज़ और चित्र में लिखावट अंग्रेज़ी में है। उपशीर्षक: हिन्दी। इस भाषा में वर्णन के लिए, इंटरैक्टिव संस्करण खोलें।

अंग्रेज़ी वीडियो: MP4 डाउनलोड करें (1.1 MB) · उपशीर्षक (WebVTT): हिन्दी · अंग्रेज़ी कैप्शन (WebVTT)

स्क्रीन पर चरण

  1. 1. प्रश्न
    हल किया गया उदाहरण
    ∑n=1∞(−1)nn\sum_{n=1}^{\infty} \frac{{\left(-1\right)}^{n}}{n}
  2. 2. चरण, भाग 1
    1. ∑n=1∞(−1)nn\sum_{n=1}^{\infty} \frac{{\left(-1\right)}^{n}}{n}
      श्रेणी लिखें
    2. lim⁡n→∞1n=0\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0
      n-वाँ पद परीक्षण
    3. एकांतर श्रेणी परीक्षण
    4. lim⁡n→∞an1/n=1\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1/n} = 1
      p-श्रेणी से सीमा तुलना
  3. 3. चरण, भाग 2
    1. निरपेक्ष या सप्रतिबंध?
    2. योग का संख्यात्मक अनुमान लगाएँ
  4. 4. उत्तर
    ∑n=1∞(−1)nn सप्रतिबंध अभिसरित≈−0.6931471806\sum_{n=1}^{\infty} \frac{{\left(-1\right)}^{n}}{n} \ \text{सप्रतिबंध अभिसरित} \approx -0.6931471806

    alternating series test ⇒ converges conditionally, S ≈ -0.6931471806 (matches −ln(2) to 10+ digits)

  5. 5. जाँच
    • आंशिक योग (सहायक प्रमाण, उपपत्ति नहीं): S₁₀ = -0.64563492, S₁₀₀ = -0.68817218, S₁₀₀₀ = -0.69264743, S₁₀₀₀₀ = -0.69309718

ट्रांसक्रिप्ट

प्रश्न. यह रहा प्रश्न: (ऋण 1) की घात n/n का n बराबर 1 से अनंत तक योग ज्ञात करें. तय करें कि 1 से ∞) तक Σ (ऋण 1) की घात n / n (n अभिसरित होती है या अपसरित।

चरण, भाग 1. श्रेणी लिखें. n बराबर 1, 2, 3, … के लिए Σ a(n), जहाँ a(n) बराबर (ऋण 1) की घात n / n। पहले पद: ऋण 1, 0.5, ऋण 0.333333, 0.25, …. n-वाँ पद परीक्षण. lim |a(n)| बराबर 0, इसलिए अपसरण परीक्षण से कोई निष्कर्ष नहीं निकलता; पद घटते तो हैं, इसलिए अधिक सूक्ष्म परीक्षण चाहिए। एकांतर श्रेणी परीक्षण. चिह्न एकांतर हैं और परिमाण b(n) बराबर 1 / n घटते हैं (10 की घात 6) तक के 310 सूचकांकों पर जाँचा गया और 0 की ओर जाते हैं, इसलिए श्रेणी अभिसरित होती है। p-श्रेणी से सीमा तुलना. निरपेक्ष मान Σ 1 / n: पद लगभग 1/n की तरह घटते हैं (a(2N)/a(N)) से अनुमानित, इसलिए Σ 1/n से तुलना करें: lim a(n) गुणा n बराबर 1। सीमा एक धनात्मक परिमित संख्या है, इसलिए श्रेणी ठीक p-श्रेणी Σ 1/n की तरह व्यवहार करती है, जो अपसरित होती है क्योंकि p से कम या बराबर 1।

चरण, भाग 2. निरपेक्ष या सप्रतिबंध?. Σ |a(n)| अपसरित होती है (Σ 1/n) से सीमा तुलना, इसलिए श्रेणी केवल सप्रतिबंध अभिसरित होती है। योग का संख्यात्मक अनुमान लगाएँ. आंशिक योग S N कई N के लिए निकाले गए और N → ∞ तक बहिर्वेशित किए गए (रिचर्डसन बहिर्वेशन; एकांतर पदों का पहले औसत लिया जाता है)। दो स्वतंत्र बहिर्वेशन 10 की घात घटा 10 से बेहतर मेल खाते हैं और S लगभग ऋण 0.6931471806 देते हैं। दिखाया गया बंद रूप एक संख्यात्मक पहचान है, प्रमाण नहीं।

उत्तर. तो उत्तर है श्रेणी सप्रतिबंध अभिसारी है (एकांतर श्रेणी परीक्षण); योग लगभग ऋण 0.6931471806 (मेल खाता है ऋण ln(2) 10+ अंकों तक). श्रेणी तब अभिसरित होती है जब उसके आंशिक योग किसी परिमित संख्या के निकट पहुँचें। इसके लिए पदों का 0 की ओर जाना ज़रूरी है, पर केवल इतना पर्याप्त नहीं (हरात्मक श्रेणी अपसरित होती है), इसलिए निर्णय के लिए तुलना, अनुपात, मूल, एकांतर या समाकल परीक्षण का उपयोग होता है।

जाँच. आंशिक योग (सहायक प्रमाण, उपपत्ति नहीं): S₁₀ बराबर ऋण 0.64563492, S₁₀₀ बराबर ऋण 0.68817218, S₁₀₀₀ बराबर ऋण 0.69264743, S₁₀₀₀₀ बराबर ऋण 0.69309718.

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