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निश्चित समाकलकलनकॉलेज≈ 1:24

1/(x²+1) का 0 से ∞ तक समाकलन करें

एक एनिमेटेड चरण-दर-चरण पाठ। हर चरण कैप्शन के साथ देखने के लिए चलाएँ दबाएँ, या नीचे चरण और ट्रांसक्रिप्ट पढ़ें। उत्तर: अभिसारी: π/2 ≈ 1.570796327.

रिकॉर्ड किया गया वीडियो: आवाज़ और चित्र में लिखावट अंग्रेज़ी में है। उपशीर्षक: हिन्दी। इस भाषा में वर्णन के लिए, इंटरैक्टिव संस्करण खोलें।

अंग्रेज़ी वीडियो: MP4 डाउनलोड करें (0.5 MB) · उपशीर्षक (WebVTT): हिन्दी · अंग्रेज़ी कैप्शन (WebVTT)

स्क्रीन पर चरण

  1. 1. प्रश्न
    हल किया गया उदाहरण
    ∫0∞1x2+1 dx\int_{0}^{\infty} \frac{1}{{x}^{2}+1}\,dx
  2. 2. चरण, भाग 1
    1. यह एक अनुचित समाकल है
    2. ∫1x2+1 dx=tan⁡−1(x)\int \frac{1}{{x}^{2}+1}\,dx = \tan^{-1}\left( x\right)
      प्रतिलोम स्पर्शज्या रूप: ∫ du/(a² + u²) = (1/a)·arctan(u/a)
    3. F(x)=tan⁡−1(x)F(x) = \tan^{-1}\left( x\right)
      प्रतिअवकलज
    4. lim⁡x→∞F(x)=π2≈1.570796327,F(0)=0\lim_{x \to \infty} F(x) = \frac{\pi}{2} \approx 1.570796327,\quad F(0) = 0
      0 से inf तक के भाग का मान निकालें
  3. 3. चरण, भाग 2
    1. ∫0∞1x2+1 dx=π2≈1.570796327\int_{0}^{\infty} \frac{1}{{x}^{2}+1}\,dx = \frac{\pi}{2} \approx 1.570796327
      भागों को जोड़ें
  4. 4. उत्तर
    ∫0∞1x2+1 dx=π2≈1.570796327\int_{0}^{\infty} \frac{1}{{x}^{2}+1}\,dx = \frac{\pi}{2} \approx 1.570796327

    Converges to π/2 ≈ 1.570796327

  5. 5. जाँच
    • अवकलन से प्रतिअवकलज सत्यापित ✓
    • प्रतिअवकलज की हर सीमा सीमा-इंजन द्वारा निकाली गई और संख्यात्मक रूप से जाँची गई ✓
    • काटा गया संख्यात्मक अनुमान (अनंतस्पर्शियों से 10⁻⁶ की दूरी पर और अनंत सीमाओं के लिए ±1000 पर रोककर): 1.5698

ट्रांसक्रिप्ट

प्रश्न. यह रहा प्रश्न: 1/(x का वर्ग जमा 1) का 0 से अनंत तक समाकलन करें. 1 / (x का वर्ग जमा 1) का 0 से inf तक अनुचित समाकल निकालें।

चरण, भाग 1. यह एक अनुचित समाकल है. यह अनुचित है क्योंकि समाकलन की एक सीमा अनंत है। इसे सीमा के रूप में परिभाषित किया जाता है, और यह तभी अभिसरित होता है जब हर सीमा परिमित हो। प्रतिलोम स्पर्शज्या रूप: समाकल du/(a का वर्ग जमा u का वर्ग) बराबर (1/a) गुणा arctan(u/a). प्रतिअवकलज. 0 से inf तक के भाग का मान निकालें.

चरण, भाग 2. भागों को जोड़ें. हर सीमा परिमित है, इसलिए समाकल अभिसरित होता है।

उत्तर. तो उत्तर है अभिसारी: पाई/2 लगभग 1.570796327. अनुचित समाकल में समस्या वाले बिंदु की जगह एक चर रखा जाता है, सामान्य रूप से समाकलन किया जाता है, और फिर सीमा ली जाती है। परिमित सीमा का अर्थ है कि अनंत क्षेत्र का क्षेत्रफल फिर भी परिमित है।

जाँच. अवकलन से प्रतिअवकलज सत्यापित, जो सही है. प्रतिअवकलज की हर सीमा सीमा-इंजन द्वारा निकाली गई और संख्यात्मक रूप से जाँची गई, जो सही है. काटा गया संख्यात्मक अनुमान (अनंतस्पर्शियों से 10 की घात घटा 6 की दूरी पर और अनंत सीमाओं के लिए धन-ऋण 1000 पर रोककर): 1.5698.

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