Diziler ve serilerCebirÜniversite≈ 2:00

n/2ⁿ toplamını n=1 ile ∞ arasında hesapla

Animasyonlu adım adım bir ders. Her adımı altyazıyla izlemek için Oynat’a basın ya da aşağıdaki adımları ve dökümü okuyun. Cevap: Seri yakınsaktır (oran testi); toplam ≈ 2 (eşleşir 2 10+ basamağa kadar).

HızDil

Bölümler

Döküm

Kaydedilmiş video: ses ve görüntüdeki yazılar İngilizcedir. Altyazı: Türkçe. Bu dilde anlatım için etkileşimli sürümü açın.

İngilizce video: MP4 indir (0.7 MB) · Altyazılar (WebVTT): Türkçe · İngilizce altyazılar (WebVTT)

Ekrandaki adımlar

1. Problem
Çözümlü örnek
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{{2}^{n}}$
2. Adım adım
1. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{{2}^{n}}$
  Seriyi yazalım
2. $\lim_{n\to\infty} \frac{n}{{2}^{n}} = 0$
  n. terim testi
3. $L = \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{n+1}{2}}{n} = \frac{1}{2}$
  Oran testi (d’Alembert testi)
4. Toplamı sayısal olarak tahmin et
3. Cevap
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{{2}^{n}} \ \text{yakınsak} \approx 2$
ratio test ⇒ converges, S ≈ 2 (matches 2 to 10+ digits)
4. Kontrol
- Kısmi toplamlar (kanıt değil, destekleyici gösterge): S₁₀ = 1.9882813, S₁₀₀ = 2, S₁₀₀₀ = 2, S₁₀₀₀₀ = 2

Döküm

Problem. İşte problem: n/2 üssü n toplamını n eşittir 1 ile sonsuz arasında hesapla. 1 ile ∞) arasında Σ n / 2 üssü n (n serisinin yakınsak mı ıraksak mı olduğunu belirleyelim.

Adım adım. Seriyi yazalım. Σ a(n), n eşittir 1, 2, 3, … için; burada a(n) eşittir n / 2 üssü n. İlk terimler: 0.5, 0.5, 0.375, 0.25, …. n. terim testi. lim a(n) eşittir 0, bu yüzden ıraksaklık testi sonuç vermez; terimler gerçekten küçülüyor, bu yüzden daha ince bir test gerekir. Oran testi (d’Alembert testi). Pozitif terimler: a(n artı 1)/a(n) ifadesi şuna sadeleşir: (n artı 1) / 2 / n; n → ∞ iken limiti şudur: L eşittir 1 bölü 2. L küçüktür 1, bu yüzden seri (mutlak) yakınsaktır. Toplamı sayısal olarak tahmin et. Kısmi toplamlar S N birkaç N için hesaplandı ve N → ∞ için dışdeğerlendi (Richardson dışdeğerlemesi; işaret değiştiren terimlerde önce ortalama alınır). İki bağımsız dışdeğerleme 10 üssü eksi 10 değerinden daha iyi uyuşuyor ve S yaklaşık 2 veriyor. Gösterilen kapalı biçim sayısal bir eşleştirmedir, kanıt değildir.

Cevap. Yani cevap: Seri yakınsaktır (oran testi); toplam yaklaşık 2 (eşleşir 2 10+ basamağa kadar). Bir seri, kısmi toplamları sonlu bir sayıya yaklaşıyorsa yakınsaktır. Bunun için terimlerin 0 değerine gitmesi gerekir, ama bu tek başına yeterli değildir (harmonik seri ıraksaktır); bu yüzden karar vermek için karşılaştırma, oran, kök, alterne seri veya integral testi kullanılır.

Kontrol. Kısmi toplamlar (kanıt değil, destekleyici gösterge): S₁₀ eşittir 1.9882813, S₁₀₀ eşittir 2, S₁₀₀₀ eşittir 2, S₁₀₀₀₀ eşittir 2.

Ekrandaki adımlar

Döküm

Benzer dersler