Diziler ve serilerCebirÜniversite≈ 1:24

4(0.5)ⁿ toplamını n=0 ile ∞ arasında hesapla

Animasyonlu adım adım bir ders. Her adımı altyazıyla izlemek için Oynat’a basın ya da aşağıdaki adımları ve dökümü okuyun. Cevap: Seri yakınsaktır (geometrik seri (|r| < 1)); toplam = 8.

HızDil

Bölümler

Döküm

Kaydedilmiş video: ses ve görüntüdeki yazılar İngilizcedir. Altyazı: Türkçe. Bu dilde anlatım için etkileşimli sürümü açın.

İngilizce video: MP4 indir (0.5 MB) · Altyazılar (WebVTT): Türkçe · İngilizce altyazılar (WebVTT)

Ekrandaki adımlar

1. Problem
Çözümlü örnek
$\sum_{n=0}^{\infty} 4 \left({0.5}^{n}\right)$
2. Adım adım
1. $\sum_{n=0}^{\infty} 4 \left({0.5}^{n}\right)$
  Seriyi yazalım
2. $S = \frac{a}{1-r} = 8$
  Geometrik seriyi tanıyalım
3. Cevap
$\sum_{n=0}^{\infty} 4 \left({0.5}^{n}\right) \ \text{yakınsak} = 8$
geometric series (|r| < 1) ⇒ converges, S = 8
4. Kontrol
- Kısmi toplamlar (kanıt değil, destekleyici gösterge): S₁₀ = 7.9921875, S₁₀₀ = 8, S₁₀₀₀ = 8, S₁₀₀₀₀ = 8

Döküm

Problem. İşte problem: 4(0.5) üssü n toplamını n eşittir 0 ile sonsuz arasında hesapla. 0 ile ∞) arasında Σ 4 (0.5) üssü n (n serisinin yakınsak mı ıraksak mı olduğunu belirleyelim.

Adım adım. Seriyi yazalım. Σ a(n), n eşittir 0, 1, 2, … için; burada a(n) eşittir 4 (0.5) üssü n. İlk terimler: 4, 2, 1, 0.5, …. Geometrik seriyi tanıyalım. Her terim bir öncekinin r eşittir 1 bölü 2 ile çarpımıdır (ilk 40 terim için kontrol edildi), ilk terim a eşittir 4. |r| küçüktür 1 olduğundan seri yakınsaktır ve toplamı şudur: a/(1 eksi r) eşittir 8.

Cevap. Yani cevap: Seri yakınsaktır (geometrik seri (|r| küçüktür 1)); toplam eşittir 8. Bir seri, kısmi toplamları sonlu bir sayıya yaklaşıyorsa yakınsaktır. Bunun için terimlerin 0 değerine gitmesi gerekir, ama bu tek başına yeterli değildir (harmonik seri ıraksaktır); bu yüzden karar vermek için karşılaştırma, oran, kök, alterne seri veya integral testi kullanılır.

Kontrol. Kısmi toplamlar (kanıt değil, destekleyici gösterge): S₁₀ eşittir 7.9921875, S₁₀₀ eşittir 8, S₁₀₀₀ eşittir 8, S₁₀₀₀₀ eşittir 8.

Ekrandaki adımlar

Döküm

Benzer dersler