Diziler ve serilerCebirÜniversite≈ 1:59

1/n toplamını n=1 ile ∞ arasında hesapla

Animasyonlu adım adım bir ders. Her adımı altyazıyla izlemek için Oynat’a basın ya da aşağıdaki adımları ve dökümü okuyun. Cevap: Seri ıraksaktır (limit karşılaştırma testi Σ 1/n).

HızDil

Bölümler

Döküm

Kaydedilmiş video: ses ve görüntüdeki yazılar İngilizcedir. Altyazı: Türkçe. Bu dilde anlatım için etkileşimli sürümü açın.

İngilizce video: MP4 indir (0.7 MB) · Altyazılar (WebVTT): Türkçe · İngilizce altyazılar (WebVTT)

Ekrandaki adımlar

1. Problem
Çözümlü örnek
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$
2. Adım adım
1. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$
  Seriyi yazalım
2. $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0$
  n. terim testi
3. $\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1/n} = 1$
  p-serisiyle limit karşılaştırma testi
3. Cevap
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \ \text{ıraksak}$
limit comparison with Σ 1/n ⇒ diverges
4. Kontrol
- Kısmi toplamlar (kanıt değil, destekleyici gösterge): S₁₀ = 2.9289683, S₁₀₀ = 5.1873775, S₁₀₀₀ = 7.4854709, S₁₀₀₀₀ = 9.787606

Döküm

Problem. İşte problem: 1/n toplamını n eşittir 1 ile sonsuz arasında hesapla. 1 ile ∞) arasında Σ 1 / n (n serisinin yakınsak mı ıraksak mı olduğunu belirleyelim.

Adım adım. Seriyi yazalım. Σ a(n), n eşittir 1, 2, 3, … için; burada a(n) eşittir 1 / n. İlk terimler: 1, 0.5, 0.333333, 0.25, …. n. terim testi. lim a(n) eşittir 0, bu yüzden ıraksaklık testi sonuç vermez; terimler gerçekten küçülüyor, bu yüzden daha ince bir test gerekir. p-serisiyle limit karşılaştırma testi. Pozitif terimler: terimler kabaca 1/n gibi küçülüyor (a(2N)/a(N)) değerinden tahmin edilmiştir, bu yüzden Σ 1/n ile karşılaştırın: lim a(n) çarpı n eşittir 1. Limit pozitif sonlu bir sayıdır, bu yüzden seri tam olarak Σ 1/n p-serisi gibi davranır; bu seri p küçük veya eşit 1 olduğu için ıraksar.

Cevap. Yani cevap: Seri ıraksaktır (limit karşılaştırma testi Σ 1/n). Bir seri, kısmi toplamları sonlu bir sayıya yaklaşıyorsa yakınsaktır. Bunun için terimlerin 0 değerine gitmesi gerekir, ama bu tek başına yeterli değildir (harmonik seri ıraksaktır); bu yüzden karar vermek için karşılaştırma, oran, kök, alterne seri veya integral testi kullanılır.

Kontrol. Kısmi toplamlar (kanıt değil, destekleyici gösterge): S₁₀ eşittir 2.9289683, S₁₀₀ eşittir 5.1873775, S₁₀₀₀ eşittir 7.4854709, S₁₀₀₀₀ eşittir 9.787606.

Ekrandaki adımlar

Döküm

Benzer dersler