Belirli integrallerAnalizÜniversite≈ 1:24

1/(x²+1) ifadesini 0 ile ∞ arasında integre et

Animasyonlu adım adım bir ders. Her adımı altyazıyla izlemek için Oynat’a basın ya da aşağıdaki adımları ve dökümü okuyun. Cevap: Yakınsak: π/2 ≈ 1.570796327.

HızDil

Bölümler

Döküm

Kaydedilmiş video: ses ve görüntüdeki yazılar İngilizcedir. Altyazı: Türkçe. Bu dilde anlatım için etkileşimli sürümü açın.

İngilizce video: MP4 indir (0.5 MB) · Altyazılar (WebVTT): Türkçe · İngilizce altyazılar (WebVTT)

Ekrandaki adımlar

1. Problem
Çözümlü örnek
$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{{x}^{2}+1}\,dx$
2. Adımlar, bölüm 1
1. Bu bir genelleştirilmiş integraldir
2. $\int \frac{1}{{x}^{2}+1}\,dx = \tan^{-1}\left( x\right)$
  Ters tanjant biçimi: ∫ du/(a² + u²) = (1/a)·arctan(u/a)
3. $F(x) = \tan^{-1}\left( x\right)$
  İlkel
4. $\lim_{x \to \infty} F(x) = \frac{\pi}{2} \approx 1.570796327,\quad F(0) = 0$
  0 ile sonsuz arasındaki parçayı hesaplayın
3. Adımlar, bölüm 2
1. $\int_{0}^{\infty} \frac{1}{{x}^{2}+1}\,dx = \frac{\pi}{2} \approx 1.570796327$
  Parçaları toplayın
4. Cevap
$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{{x}^{2}+1}\,dx = \frac{\pi}{2} \approx 1.570796327$
Converges to π/2 ≈ 1.570796327
5. Kontrol
- İlkel, türev alınarak doğrulandı ✓
- İlkelin her limiti limit motoruyla hesaplandı ve sayısal olarak kontrol edildi ✓
- Kesilmiş sayısal tahmin (asimptotlardan 10⁻⁶ uzaklıkta ve sonsuz sınırlar için ±1000 noktasında durularak): 1.5698

Döküm

Problem. İşte problem: 1/(x kare artı 1) ifadesini 0 ile sonsuz arasında integre et. 1 / (x kare artı 1) ifadesinin 0 ile inf arasındaki has olmayan integralini hesaplayın.

Adımlar, bölüm 1. Bu bir genelleştirilmiş integraldir. İntegral sınırlarından biri sonsuz olduğu için genelleştirilmiştir. Bir limit olarak tanımlanır ve ancak her limit sonluysa yakınsar. Ters tanjant biçimi: integral du/(a kare artı u kare) eşittir (1/a) çarpı arctan(u/a). İlkel. 0 ile sonsuz arasındaki parçayı hesaplayın.

Adımlar, bölüm 2. Parçaları toplayın. Her limit sonlu, bu yüzden integral yakınsar.

Cevap. Yani cevap: Yakınsak: pi/2 yaklaşık 1.570796327. Genelleştirilmiş integralde sorunlu nokta bir değişkenle değiştirilir, integral normal şekilde alınır ve ardından limit alınır. Limitin sonlu olması, sonsuz bölgenin yine de sonlu bir alanı olduğu anlamına gelir.

Kontrol. İlkel, türev alınarak doğrulandı, bu doğrulanır. İlkelin her limiti limit motoruyla hesaplandı ve sayısal olarak kontrol edildi, bu doğrulanır. Kesilmiş sayısal tahmin (asimptotlardan 10 üssü eksi 6 uzaklıkta ve sonsuz sınırlar için artı eksi 1000 noktasında durularak): 1.5698.

Ekrandaki adımlar

Döküm

Benzer dersler