ПохідніМатематичний аналізУніверситет≈ 1:37

Похідна (e^(sin(x)))/(√(x²+x+1))

Анімований покроковий урок. Натисніть «Відтворити», щоб дивитися кроки із субтитрами, або прочитайте кроки й розшифровку нижче. Відповідь: f'(x) = ((-2x - 1) / 2 + sqrt(x² + x + 1)²·cos(x))·e^sin(x) / sqrt(x² + x + 1)³.

ШвидкістьМова

Розділи

Транскрипт

Записане відео: голос і текст на екрані англійською мовою. Субтитри: Українська. Щоб прослухати озвучення цією мовою, відкрийте інтерактивну версію.

Англійське відео: Завантажити MP4 (0.7 MB) · Субтитри (WebVTT): Українська · Англійські субтитри (WebVTT)

Кроки на екрані

1. Задача
Розібраний приклад
$\frac{d}{dx}\left[\frac{{e}^{\sin\left( x\right)}}{\sqrt{{x}^{2}+ x+1}}\right]$
2. Кроки, частина 1
1. $\frac{d}{dx}\left[\frac{{e}^{\sin\left( x\right)}}{\sqrt{{x}^{2}+ x+1}}\right] = \frac{\left(\frac{-\left(2x\right)-1}{2}+{\sqrt{{x}^{2}+ x+1}}^{2} \cos\left( x\right)\right) {e}^{\sin\left( x\right)}}{{\sqrt{{x}^{2}+ x+1}}^{3}}$
  Похідна частки: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
2. $\frac{d}{dx}\left[\sqrt{{x}^{2}+ x+1}\right] = \frac{\frac{2x+1}{2}}{\sqrt{{x}^{2}+ x+1}}$
  Правило диференціювання складної функції — d/dx[√u] = u′/(2√u)
3. $\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}+ x+1\right] = 2x+1$
  Похідна суми: диференціюємо кожен доданок окремо
4. $\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}+ x\right] = 2x+1$
  Похідна суми: диференціюємо кожен доданок окремо
3. Кроки, частина 2
1. $\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}\right] = 2x$
  Похідна степеня: d/dx[xⁿ] = n·xⁿ⁻¹
2. $\frac{d}{dx}\left[{e}^{\sin\left( x\right)}\right] = {e}^{\sin\left( x\right)} \cos\left( x\right)$
  Похідна показникової функції: d/dx[eᵘ] = eᵘ·u′
3. $\frac{d}{dx}\left[\sin\left( x\right)\right] = \cos\left( x\right)$
  d/dx[sin x] = cos x
4. $f'(x) = \frac{\left(\frac{-\left(2x\right)-1}{2}+{\sqrt{{x}^{2}+ x+1}}^{2} \cos\left( x\right)\right) {e}^{\sin\left( x\right)}}{{\sqrt{{x}^{2}+ x+1}}^{3}}$
  Зводимо подібні й спрощуємо
4. Відповідь
$f'(x) = \frac{\left(\frac{-\left(2x\right)-1}{2}+{\sqrt{{x}^{2}+ x+1}}^{2} \cos\left( x\right)\right) {e}^{\sin\left( x\right)}}{{\sqrt{{x}^{2}+ x+1}}^{3}}$
f'(x) = ((-2x - 1) / 2 + sqrt(x² + x + 1)²·cos(x))·e^sin(x) / sqrt(x² + x + 1)³
5. Перевірка
- Звірено чисельно з незалежною системою символьного диференціювання в 8 контрольних точках ✓

Розшифровка

Задача. Ось задача: Похідна (e у степені sin(x)))/(sqrt(x у квадраті плюс x плюс 1)). Знайдемо похідну (e у степені sin(x))) / (sqrt(x у квадраті плюс x плюс 1)) за x.

Кроки, частина 1. Похідна частки: (u/v) штрих дорівнює (u штрих v мінус uv штрих )/v у квадраті. Правило диференціювання складної функції — похідна за x[квадратний корінь з u] дорівнює u штрих /(2квадратний корінь з u. Похідна суми: диференціюємо кожен доданок окремо. Похідна суми: диференціюємо кожен доданок окремо.

Кроки, частина 2. Похідна степеня: похідна за x[x у степені n] дорівнює n помножити на x у степені n мінус 1. Похідна показникової функції: похідна за x[eᵘ] дорівнює eᵘ помножити на u штрих. похідна за x[sin x] дорівнює cos x. Зводимо подібні й спрощуємо.

Відповідь. Отже, відповідь: f штрих від x дорівнює ((мінус 2x мінус 1) / 2 плюс sqrt(x у квадраті плюс x плюс 1) у квадраті помножити на cos(x)) помножити на e у степені sin(x) / sqrt(x у квадраті плюс x плюс 1) у кубі. Похідна будується ззовні всередину: сума розбивається на доданки, сталий множник виноситься, для добутків і часток діють свої правила, а кожна складена функція множиться на похідну внутрішньої функції (правило диференціювання складеної функції).

Перевірка. Звірено чисельно з незалежною системою символьного диференціювання в 8 контрольних точках, що правильно.

Кроки на екрані

Розшифровка

Схожі уроки