Перейти до вмісту
MathSolver Pro
  • Відкрити розв’язувач
  • Запитати ШІ-репетитора
  • Знайти курс AP
  • Створити тест
  • Відкрити калькулятор
  • Графічний калькулятор
  • Усі калькулятори
  • Читати посібники з математики
↑ ↓Enter — відкрити · Esc — закрити
Розв’язати задачу
Тригонометричні рівнянняТригонометріяСтарша школа≈ 2:01

Розв’яжіть sin(2x) = cos(x)

Анімований покроковий урок. Натисніть «Відтворити», щоб дивитися кроки із субтитрами, або прочитайте кроки й розшифровку нижче. Відповідь: x = π/6 + 2πk, x = π/2 + 2πk, x = 5π/6 + 2πk, x = 3π/2 + 2πk (k будь-яке ціле число).

Записане відео: голос і текст на екрані англійською мовою. Субтитри: Українська. Щоб прослухати озвучення цією мовою, відкрийте інтерактивну версію.

Англійське відео: Завантажити MP4 (0.8 MB) · Субтитри (WebVTT): Українська · Англійські субтитри (WebVTT)

Кроки на екрані

  1. 1. Задача
    Розібраний приклад
    sin⁡(2 x)=cos⁡(x)\sin\left(2~ x\right) = \cos\left( x\right)
  2. 2. Кроки, частина 1
    1. sin⁡(2 x)=cos⁡(x)\sin\left(2~ x\right) = \cos\left( x\right)
      Записуємо початкове рівняння
    2. f(x)=sin⁡(2 x)−cos⁡(x)=0f(x) = \sin\left(2~ x\right)-\cos\left( x\right) = 0
      Записуємо у вигляді f(x) = 0
    3. Ліва частина повторюється кожні 2π, тому знайдіть розв'язки в межах одного періоду
    4. x=π6, x=π2, x=5π6, x=3π2x = \frac{\pi}{6},\ x = \frac{\pi}{2},\ x = \frac{5\pi}{6},\ x = \frac{3\pi}{2}
      Розв'язки в одному періоді [0, 2π)
  3. 3. Кроки, частина 2
    1. x=π6+2πk,x=π2+2πk,x=5π6+2πk,x=3π2+2πk,k∈Zx = \frac{\pi}{6} + 2\pi k,\quad x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k,\quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k,\quad x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k,\quad k \in \mathbb{Z}
      Додаємо будь-яке ціле число періодів
  4. 4. Відповідь
    x=π6+2πk, x=π2+2πk, x=5π6+2πk, x=3π2+2πk, k∈Zx = \frac{\pi}{6} + 2\pi k,\ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k,\ x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k,\ x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}

    x = π/6 + 2πk, x = π/2 + 2πk, x = 5π/6 + 2πk, x = 3π/2 + 2πk (k any integer)

  5. 5. Перевірка
    • x = 0.52359878: ліва частина = 0.8660254, права частина = 0.8660254 ✓
    • x = 1.5707963: ліва частина = 0, права частина = 0 ✓
    • x = 2.6179939: ліва частина = -0.8660254, права частина = -0.8660254 ✓
    • x = 4.712389: ліва частина = 0, права частина = 0 ✓

Розшифровка

Задача. Ось задача: sin(2x) дорівнює cos(x). Періодичне рівняння відносно x: воно має нескінченно багато розв штрих язків, по одній серії для кожного розв штрих язку в межах одного періоду.

Кроки, частина 1. Записуємо початкове рівняння. Записуємо у вигляді f(x) дорівнює 0. Ліва частина повторюється кожні 2пі, тому знайдіть розв штрих язки в межах одного періоду. f(x плюс 2пі) дорівнює f(x) для кожного x, тому кожен розв штрих язок є одним із розв штрих язків у [0, 2пі) плюс ціла кількість періодів. Розв штрих язки в одному періоді [0, 2пі).

Кроки, частина 2. Додаємо будь-яке ціле число періодів.

Відповідь. Отже, відповідь: x дорівнює пі/6 плюс 2піk, x дорівнює пі/2 плюс 2піk, x дорівнює 5пі/6 плюс 2піk, x дорівнює 3пі/2 плюс 2піk (k будь-яке ціле число). Кожен розв штрих язок в одному періоді був знайдений чисельно, зіставлений з точним значенням і підтверджений підстановкою; додавання цілих періодів дає всі розв штрих язки.

Перевірка. x дорівнює 0.52359878: ліва частина дорівнює 0.8660254, права частина дорівнює 0.8660254, що правильно. x дорівнює 1.5707963: ліва частина дорівнює 0, права частина дорівнює 0, що правильно. x дорівнює 2.6179939: ліва частина дорівнює мінус 0.8660254, права частина дорівнює мінус 0.8660254, що правильно. x дорівнює 4.712389: ліва частина дорівнює 0, права частина дорівнює 0, що правильно.

Схожі уроки

Розв’яжіть sin(2x) = cos(x) — покроковий відеоурок