Oʻrin almashtirishlar va guruhlashlar tushuntirilgan

Koʻpaytirish qoidasi

Sanash masalalari biror narsa necha usulda roʻy berishi mumkinligini soʻraydi. Ularning asosi koʻpaytirish qoidasidir: agar bitta tanlovni $m$ usulda, ikkinchi, bogʻliqmas tanlovni esa $n$ usulda qilish mumkin boʻlsa, ikkalasini birga $m \times n$ usulda qilish mumkin. Bu gʻoya istalgan sondagi bosqichlarga tatbiq etiladi.

Agar sizda 3 ta koʻylak, 4 ta shim va 2 juft poyabzal boʻlsa, $3 \times 4 \times 2 = 24$ xil kiyim toʻplami tuzishingiz mumkin. 0 dan 9 gacha raqamlardan takrorlanishga ruxsat bilan tuzilgan toʻrt xonali PIN-kodning $10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^4 = 10{,}000$ ta varianti bor. Ushbu maqoladagi har bir formula shu koʻpaytirishning qisqartmasi, shuning uchun masala notanish tuyulsa, bosqichma-bosqich sanashga qaytish doimo ishonchli zaxira yoʻldir.

Faktoriallar

$n$ ta turli obyektning hammasini qatorga joylashtirishda birinchi oʻrin uchun $n$ ta, ikkinchisi uchun $n - 1$ ta va hokazo 1 gacha tanlov bor. Bu koʻpaytma $n$ faktorial deyiladi:

Demak, $5! = 120$: beshta kitobni javonga 120 xil tartibda terish mumkin. Taʼrifga koʻra $0! = 1$, bu quyidagi formulalarni izchil saqlaydi, chunki hech narsani joylashtirishning aynan bitta usuli bor. Faktoriallar hayratlanarli darajada tez oʻsadi: $10! = 3{,}628{,}800$, aralashtirilgan karta dastasining esa $52!$ ta mumkin tartibi bor, bu 68 xonali son.

Oʻrinlashtirishlar: tartib muhim

Oʻrinlashtirish — $n$ ta turli obyektdan tanlangan $r$ ta obyektning tartiblangan joylashuvi. Tartib muhim boʻlgani uchun birinchi-ikkinchi-uchinchi tartibi uchinchi-ikkinchi-birinchidan farq qiladi. Oʻrinlashtirishlar soni quyidagicha

Odamlarni dumaloq stol atrofiga oʻtqazish alohida hol. Hammani bir oʻringa surish oʻsha joylashuvni beradi, shuning uchun $n$ kishini $(n-1)!$ xil usulda oʻtqazish mumkin. Dumaloq stol atrofidagi olti kishi 720 ta emas, $5! = 120$ ta joylashuvga ega.

Guruhlashlar: tartib muhim emas

Guruhlash — faqat kim kirgani ahamiyatli boʻlgan tanlash. Qoʻmitaga Ana, Ben va Karani tanlash istalgan tartibda bir xil qoʻmitani beradi. $r$ ta obyektdan iborat har bir guruh $r!$ ta oʻrinlashtirishga mos keladi, shuning uchun ularga boʻlamiz:

Guruhlashlar simmetrik: $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$, chunki kiritiladigan 3 kishini tanlash chetda qoladigan 5 kishini tanlash bilan bir xil. Ular, shuningdek, Paskal uchburchagining elementlari va $(a + b)^n$ binomial yoyilmasining koeffitsiyentlaridir.

Qaysi biridan foydalanishni qanday aniqlash

Bitta savol bering: tanlangan elementlardan ikkitasining oʻrnini almashtirsam, boshqa natija olamanmi? Ha boʻlsa, tartib muhim va sizga oʻrinlashtirishlar kerak. Yoʻq boʻlsa, guruhlashlardan foydalaning.

• Oʻrinlar, reytinglar, parollar, oʻtirish rejalari va jadvallar: oʻrinlashtirishlar.
• Jamoalar, qoʻmitalar, qoʻldagi kartalar, lotereya chiptalari va pitsa qoʻshimchalari: guruhlashlar.
• Guruh ichidagi rollar, masalan, rais va gʻaznachi, odamlar bitta toʻplamdan olinsa ham, tartibni muhim qiladi.

Tez tekshiruv: oʻrinlashtirishlar soni doimo guruhlashlar sonidan $r!$ marta koʻp. Agar ikki javobingiz bu munosabatni qanoatlantirmasa, ulardan biri notoʻgʻri.

Takrorlanishli sanash va takrorlanuvchi harflar

Elementlarni qayta ishlatish mumkin boʻlsa, formulalar oʻzgaradi. Takrorlanishli tartiblangan tanlashlar soni PIN-kod misolidagidek $n^r$ ga teng. Takrorlanishli tartiblanmagan tanlashlar, masalan, bir taʼmni takrorlash mumkin boʻlganda 5 xil taʼmdan 3 sharcha muzqaymoq tanlash, soni quyidagicha

Takrorlanuvchi harflarni joylashtirish yana bitta tuzatishni talab qiladi: har bir takrorlanish sonining faktorialiga boʻling, chunki bir xil harflarning oʻrnini almashtirish hech narsani oʻzgartirmaydi. MISSISSIPPI soʻzida 11 ta harf bor, ulardan 4 tasi I, 4 tasi S va 2 tasi P, shuning uchun uning $\frac{11!}{4!\,4!\,2!} = 34{,}650$ ta turli joylashuvi bor.

Ehtimolliklarni topish uchun sanash

Natijalar teng ehtimolli boʻlganda ehtimollik qulay natijalar sonining barcha natijalar soniga nisbatidir, shuning uchun ishning asosiy qismini oʻrinlashtirishlar va guruhlashlar bajaradi. Bu nisbat asoslari ehtimollik asoslari maqolasida yoritilgan.

Karta oʻyinlari qoʻshimcha mashq beradi. Beshta kartadan iborat $\binom{52}{5} = 2{,}598{,}960$ ta mumkin qoʻl bor. Toʻrtala tuzni oʻz ichiga olgan qoʻlga qolgan 48 tadan tanlanadigan yana bitta karta kerak, shuning uchun ehtimollik $\frac{48}{2{,}598{,}960} = \frac{1}{54{,}145}$.

Keng tarqalgan xatolar

• Jamoa yoki qoʻmita uchun oʻrinlashtirishlardan foydalanish, bu sonni $r!$ marta oshirib yuboradi.
• $0! = 1$ ekanini unutish, bu $\binom{n}{n}$ kabi formulalarni buzadi.
• Takrorlanuvchi harflarni joylashtirishdagi kabi bir xil elementlarni eʼtiborsiz qoldirish.
• Keyingi sonlarni tuzatmasdan bogʻliqmas boʻlmagan bosqichlarni koʻpaytirish.

Oʻrin almashtirish va guruhlash kalkulyatori ${}_nP_r$ va ${}_nC_r$ ni faktorial qadamlari bilan hisoblaydi, ehtimollik kalkulyatori esa bu sonlarni ehtimolliklarga aylantiradi.

Paskal uchburchagi va qism toʻplamlar

Paskal uchburchagining har bir elementi uning ustidagi ikki elementning yigʻindisi, $n$-satr esa $\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \ldots, \binom{n}{n}$ qiymatlarini sanab beradi. 4-satr 1, 4, 6, 4, 1 dan iborat, bular aynan $(a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$ dagi koeffitsiyentlar. Uchburchakni quradigan qoidaning oʻzi sanash faktidir:

Nega shundayligini koʻrish uchun bitta muayyan elementni belgilang. $r$ ta elementning har bir tanlovi yo uni oʻz ichiga oladi va qolgan $n - 1$ tadan $r - 1$ tasini tanlash qoladi, yoki uni chiqarib tashlaydi va qolgan $n - 1$ tadan barcha $r$ tasini tanlash qoladi. Butun satrni qoʻshish $2^n$ ni, yaʼni $n$ elementli toʻplamning barcha qism toʻplamlari sonini beradi, chunki har bir element yo kiradi, yo kirmaydi. Shuning uchun 8 xil qoʻshimchasi bor pitsaxona oddiy pitsani ham hisoblaganda $2^8 = 256$ xil pitsa tayyorlay oladi.

Mashqlar

1. 7 ta turli kitobdan 4 tasini javonga necha usulda terish mumkin? Javob: ${}_7P_4 = 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840$.
2. 10 ta qoʻshimchadan 4 tasini necha usulda tanlash mumkin? Javob: $\binom{10}{4} = 210$.
3. BANANA soʻzining nechta turli joylashuvi bor? Javob: $\frac{6!}{3!\,2!} = 60$.
4. Takrorlanishga ruxsat boʻlsa, 26 ta harfdan nechta besh harfli kod tuzish mumkin? Javob: $26^5 = 11{,}881{,}376$.

Koʻp beriladigan savollar