Statistika

Standart chetlanishni qanday hisoblash (tanlanma va bosh toʻplam)

Muallif: MathSolver Pro Editorial Team · Chop etilgan 25-oktabr, 2026

Standart chetlanish maʼlumotlar qiymatlari odatda oʻrta qiymatdan qanchalik uzoqda yotishini oʻlchaydi. Ushbu qoʻllanma hisobni bosqichma-bosqich koʻrsatadi, qachon n ga va qachon n minus 1 ga boʻlishni tushuntiradi va olingan javobni qanday oʻqishni koʻrsatadi.

Standart chetlanish nimani oʻlchaydi

Oʻrta qiymat maʼlumotlar toʻplamining markazi qayerdaligini aytadi, ammo qiymatlar uning atrofida qanchalik zich toʻplanganini aytmaydi. Standart chetlanish bu boʻshliqni toʻldiradi. Kichik standart chetlanish qiymatlar oʻrta qiymatga yaqin joylashganini, kattasi esa ular keng sochilganini bildiradi. U maʼlumotlar bilan bir xil birliklarda oʻlchanadi, shuning uchun boʻy uzunliklari uchun 5 santimetrlik standart chetlanish odatiy boʻy oʻrtachadan taxminan 5 santimetr farq qilishini bildiradi.

Hisob oddiy mantiqqa asoslanadi. Har bir qiymat oʻrta qiymatdan qanchalik uzoqligini oʻlchang, oʻrta qiymatdan yuqori va past qiymatlar bir-birini yoʻqqa chiqarmasligi uchun bu masofalarni kvadratga oshiring, kvadratlarning oʻrtachasini oling va nihoyat dastlabki birliklarga qaytish uchun kvadrat ildiz chiqaring. Agar oʻrta qiymatning oʻzini eslab olish kerak boʻlsa, oʻrta qiymat, mediana, moda va standart chetlanish maqolasidan boshlang.

Ikki formula

Maʼlumotlaringiz butun bosh toʻplammi yoki kattaroq bosh toʻplamdan olingan tanlanmami, shunga qarab ikki variant mavjud:

\sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \mu)^2}{N}} \qquad s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}}

Bosh toʻplamning standart chetlanishi $\sigma$ qiymatlar soni $N$ ga boʻlinadi. Tanlanmaning standart chetlanishi $s$ esa $n - 1$ ga boʻlinadi. Kvadrat ildiz ostidagi kattalik dispersiya boʻlib, $\sigma^2$ yoki $s^2$ deb yoziladi. Dispersiya nazariyada foydali, ammo uning birliklari kvadratda, masalan, kvadrat santimetr, shuning uchun odatda standart chetlanish keltiriladi.

Qoʻlda bajarilgan besh qadam

1-misol: beshta qiymatning standart chetlanishi

Maʼlumotlar: 6, 8, 10, 12, 14. 1-qadam, oʻrta qiymatni toping: $\frac{50}{5} = 10$ .
2-qadam, har bir qiymatdan oʻrta qiymatni ayiring: $-4, -2, 0, 2, 4$ .
3-qadam, har bir chetlanishni kvadratga oshiring: $16, 4, 0, 4, 16$ .
4-qadam, kvadratlarni qoʻshing: $16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40$ .
5-qadam, boʻling va kvadrat ildiz chiqaring. Bosh toʻplam sifatida: $\sigma = \sqrt{\frac{40}{5}} = \sqrt{8} \approx 2.83$ . Tanlanma sifatida: $s = \sqrt{\frac{40}{4}} = \sqrt{10} \approx 3.16$ .

$x$ , $x - \bar{x}$ va $(x - \bar{x})^2$ ustunlari bor jadval ishni tartibli saqlaydi. Foydali tekshiruv: ikkinchi ustundagi chetlanishlar yigʻindisi doimo nolga teng. Agar unday boʻlmasa, oʻrta qiymat notoʻgʻri va undan keyingi hamma narsa ham notoʻgʻri boʻladi.

Nega tanlanma uchun n minus 1 ga boʻlinadi?

Tanlanma bilan ishlaganda siz bosh toʻplamning haqiqiy oʻrta qiymatini bilmaysiz, shuning uchun chetlanishlarni tanlanma oʻrta qiymatidan oʻlchaysiz. Tanlanma oʻrta qiymati oʻz tuzilishiga koʻra aynan shu tanlanma uchun chetlanishlar kvadratlari yigʻindisini imkon qadar kichik qiladigan nuqtadir. Shuning uchun undan oʻlchangan chetlanishlar oʻrtacha hisobda haqiqiy oʻrta qiymatdan oʻlchanganlaridan biroz kichikroq boʻladi.

$n$ oʻrniga $n - 1$ ga boʻlish buni tuzatadi va tanlanma dispersiyasini bosh toʻplam dispersiyasining siljimagan bahosiga aylantiradi. Bu tuzatish Bessel tuzatishi deb ataladi. Uni erkinlik darajalari orqali ham koʻrish mumkin: oʻrta qiymat va chetlanishlarning $n - 1$ tasi maʼlum boʻlsa, oxirgi chetlanish majburan aniqlanadi, chunki ularning yigʻindisi nolga teng boʻlishi kerak. Faqat $n - 1$ ta chetlanish mustaqil axborot tashiydi.

Amalda, agar maʼlumotlaringiz sizni qiziqtirgan guruhning har bir aʼzosini haqiqatan oʻz ichiga olmasa, tanlanma formulasidan foydalaning; masalan, sizni faqat bitta sinf qiziqtirsa va oʻsha sinfdagi har bir oʻquvchining ballari bor boʻlsa, bosh toʻplam formulasi mos.

Qisqa formula va chastotalar jadvallari

Algebraik jihatdan teng kuchli formula har bir chetlanishni alohida hisoblashdan qutqaradi:

\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{N} - \mu^2

1-misoldagi maʼlumotlar uchun $\sum x^2 = 36 + 64 + 100 + 144 + 196 = 540$ , demak, avvalgidek $\sigma^2 = \frac{540}{5} - 10^2 = 8$ . Qisqa formula qoʻlda tez ishlaydi, ammo kompyuterlar katta yoki juda aniq sonlarda undan qochadi, chunki ikki deyarli teng katta sonni ayirish aniqlikni yoʻqotadi.

2-misol: chastotalar jadvalidagi maʼlumotlar

Soʻrovnoma 10 ta xonadondagi uy hayvonlari sonini qayd etadi: 1 qiymati 2 marta, 2 qiymati 5 marta, 3 qiymati esa 3 marta uchraydi.
Oʻrta qiymat: $\frac{1(2) + 2(5) + 3(3)}{10} = \frac{21}{10} = 2.1$ .
Vaznli chetlanishlar kvadratlari: $2(1 - 2.1)^2 + 5(2 - 2.1)^2 + 3(3 - 2.1)^2 = 2.42 + 0.05 + 2.43 = 4.9$ .
Tanlanma sifatida: $s = \sqrt{\frac{4.9}{9}} \approx 0.738$ . Bosh toʻplam sifatida: $\sigma = \sqrt{\frac{4.9}{10}} = 0.7$ .

Natijani talqin qilish

Taxminan qoʻngʻiroqsimon normal taqsimotga boʻysunadigan maʼlumotlar uchun empirik qoida standart chetlanishni aniq oʻqish imkonini beradi: qiymatlarning taxminan 68 foizi oʻrta qiymatdan bir standart chetlanish ichida, taxminan 95 foizi ikki, taxminan 99.7 foizi esa uch standart chetlanish ichida yotadi. Agar guruhdagi kattalar boʻyining oʻrta qiymati 170 santimetr va standart chetlanishi 8 boʻlsa, guruhning taxminan 95 foizi 154 dan 186 santimetrgacha boʻyga ega.

Istalgan shakldagi maʼlumotlar uchun Chebishev tengsizligi qiymatlarning kamida 75 foizi oʻrta qiymatdan ikki standart chetlanish ichida, kamida taxminan 89 foizi esa uch standart chetlanish ichida yotishini kafolatlaydi. Bitta qiymatning oʻrta qiymatdan uzoqligini standart chetlanishlarda ifodalash uning z-ballini beradi, bu turli shkalalarda oʻlchangan qiymatlarni solishtirish imkonini beradi.

Standart chetlanish maʼlumotlardagi oʻzgarishlarga ham oldindan aytib boʻladigan tarzda javob beradi. Har bir qiymatga bir xil oʻzgarmasni qoʻshish oʻrta qiymatni siljitadi, ammo standart chetlanishni oʻzgartirmaydi, chunki tarqoqlik bir xil qoladi. Har bir qiymatni oʻzgarmasga koʻpaytirish standart chetlanishni shu oʻzgarmasning moduliga koʻpaytiradi, shuning uchun metrlarni santimetrlarga oʻtkazish uni 100 ga koʻpaytiradi.

Kalkulyator yoki elektron jadvaldan foydalanish

Ilmiy kalkulyatorlarda odatda ikkita tugma boʻladi: bosh toʻplam varianti uchun koʻpincha $\sigma_x$ yoki $\sigma_n$ , tanlanma varianti uchun esa $s_x$ yoki $\sigma_{n-1}$ deb belgilanadi. Excel va Google Sheets kabi elektron jadvallarda STDEV.P bosh toʻplamning, STDEV.S esa tanlanmaning standart chetlanishini hisoblaydi; eskiroq STDEV funksiyasi ham tanlanma qiymatini beradi. Notoʻgʻrisini tanlash javoblar mos kelmasligining eng keng tarqalgan sababidir.

Standart chetlanish kalkulyatori ikkala variantni toʻliq chetlanishlar jadvali bilan birga koʻrsatadi, bu qoʻlda bajarilgan uy vazifasini tekshirish uchun ideal. Oʻrta qiymat, mediana va moda kalkulyatori boshqa tavsifiy statistikalarni qoʻshadi, z-ball kalkulyatori esa natijadan alohida qiymatlarni standartlashtirish uchun foydalanadi.

Turli shkalalardagi tarqoqlikni solishtirish

Oʻrta qiymatlar juda farq qilganda standart chetlanishlarni solishtirish qiyin. 2 kilogrammlik standart chetlanish yangi tugʻilgan chaqaloqlar uchun katta, ammo katta yoshli fillar uchun juda kichik. Variatsiya koeffitsiyenti bu muammoni standart chetlanishni oʻrta qiymatga boʻlib hal qiladi va koʻpincha foizda ifodalanadi. Oʻrtacha yillik daromadliligi 6 va 9 foiz, standart chetlanishlari esa 3 va 9 foiz punkt boʻlgan ikki investitsiyaning variatsiya koeffitsiyentlari 50 va 100 foiz, demak, ikkinchisi oʻzining odatiy daromadliligiga nisbatan ikki baravar oʻzgaruvchan.

Keng tarqalgan xatolar

Chetlanishlarni kvadratga oshirishni unutish, natijada musbat va manfiy qiymatlar bir-birini nolgacha yoʻqqa chiqaradi.
Oxirgi kvadrat ildizni unutib, uning oʻrniga dispersiyani yozish.
Tanlanma va bosh toʻplam formulalarini aralashtirish yoki kalkulyatorning notoʻgʻri tugmasini bosish.
Chetlanishlarni hisoblashdan oldin oʻrta qiymatni qoʻpol yaxlitlash, bu yaxlitlash xatosini kuchaytiradi.
Chastotalar jadvaliga har bir qiymat bir martadan uchragandek qarash.

Koʻp beriladigan savollar

Tanlanma yoki bosh toʻplam standart chetlanishidan foydalanishim kerakmi?

Bosh toʻplam formulasidan faqat maʼlumotlaringiz siz tavsiflamoqchi boʻlgan guruhning har bir aʼzosini oʻz ichiga olganda foydalaning. Agar maʼlumotlar kattaroq guruh haqida bilish uchun ishlatiladigan tanlanma boʻlsa, bu odatiy holat, $n - 1$ li tanlanma formulasidan foydalaning.

Umuman nega dispersiyadan kvadrat ildiz chiqariladi?

Dispersiya — oʻrta qiymatdan chetlanishlar kvadratlarining oʻrtachasi, standart chetlanish esa uning kvadrat ildizi. Ular bir xil axborotni oʻz ichiga oladi, ammo standart chetlanish dastlabki birliklarda, shuning uchun uni talqin qilish osonroq.

Nolga teng standart chetlanish nimani anglatadi?

Maʼlumotlar toʻplamidagi har bir qiymat bir xil, demak, hech qanday tarqoqlik yoʻq. Har qanday oʻzgaruvchanlik standart chetlanishni musbat qiladi.

Katta standart chetlanish yomonmi?

Shart emas. Bu shunchaki maʼlumotlar tarqoq ekanini bildiradi. Bu yaxshimi yoki yoʻqmi, kontekstga bogʻliq: yetkazib berish vaqtlaridagi katta oʻzgaruvchanlik yomon, oʻsimlik seleksiyasi tajribasidagi katta oʻzgaruvchanlik esa tadqiqotchi aynan topishni umid qilgan narsa boʻlishi mumkin.

MathSolver Pro Editorial Team

Matematik kontent va tekshiruv

Tahririyatimiz har bir qoʻllanmani faqat javobni emas, balki har bir usul ortidagi mulohazani tushuntiradigan qilib yozadi. Har bir yechilgan misol eʼlon qilinishidan oldin saytning oʻz yechuvchi dvigatellari va avtomatlashtirilgan testlar bilan tekshiriladi, usul yoki imtihon formati oʻzgarganda esa maqolalar qayta koʻrib chiqiladi.