Ehtimollik asoslari: amaliy kirish

Natijalar, hodisalar va ehtimollik shkalasi

Ehtimollik zar tashlash kabi tajriba va uning elementar hodisalar fazosi, yaʼni barcha mumkin natijalar toʻplamidan boshlanadi. Oddiy zarni bir marta tashlashda bu fazo $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ga teng. Hodisa — natijalarning istalgan toʻplami, masalan, juft son tushishi, bu $\{2, 4, 6\}$ toʻplami.

Har qanday ehtimollik 0 va 1 orasida yotadi. 0 ehtimollik hodisa roʻy bera olmasligini, 1 uning muqarrarligini, 0.5 esa roʻy berishi ham, bermasligi ham bir xil ehtimolli ekanini bildiradi. Ehtimolliklarni kasr, oʻnli kasr yoki foiz koʻrinishida yozish mumkin, shuning uchun $\frac{1}{4}$, 0.25 va 25 foiz bir xil maʼnoni anglatadi. Barcha natijalar teng ehtimolli boʻlganda hodisa ehtimolligi oddiy nisbatdir:

Demak, juft son tushish ehtimolligi $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. Ikki zar bilan $6 \times 6 = 36$ ta teng ehtimolli tartiblangan natija bor va ulardan oltitasi 7 yigʻindini beradi: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2) va (6,1), shuning uchun $P(\text{yigʻindi} = 7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$. Kattaroq masalalarda natijalarni sanash oʻrin almashtirishlar va guruhlashlar usullaridan foydalanadi.

Qarama-qarshi hodisa qoidasi

$A$ hodisaga qarama-qarshi hodisa — $A$ ga kirmaydigan hamma narsa. Ulardan biri albatta roʻy bergani uchun ularning ehtimolliklari yigʻindisi 1 ga teng:

Savolda kamida bitta deyilgan boʻlsa, avval qarama-qarshi hodisani sinab koʻring. U deyarli har doim uzun hisobni qisqasiga aylantiradi.

Qoʻshish qoidasi: A yoki B

$A$ yoki $B$, yoki ikkalasi roʻy berish ehtimolligi ularning ehtimolliklarini qoʻshib, aks holda ikki marta sanaladigan umumiy qismni ayirish orqali topiladi:

Standart 52 kartali dastadan bitta karta olinganda chirva yoki qirol chiqish ehtimolligi $\frac{13}{52} + \frac{4}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$, chunki chirva qirol ikkala guruhga ham kiradi. Bir tashlashda 2 va 5 tushishi kabi birga roʻy bera olmaydigan hodisalar birgalikda boʻlmagan hodisalar deyiladi. Ularning umumiy qismi nolga teng, shuning uchun ehtimolliklari shunchaki qoʻshiladi.

Koʻpaytirish qoidasi: A va B

Ikki hodisadan birining natijasi ikkinchisining ehtimolligini oʻzgartirmasa, ular bogʻliqmas deyiladi, masalan, alohida tanga tashlashlar. Bogʻliqmas hodisalar uchun koʻpaytiring:

Shuning uchun ikki tashlashda ikki marta gerb tushish ehtimolligi $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$. Hodisalar bogʻliq boʻlganda ikkinchi ehtimollik allaqachon roʻy bergan narsani hisobga olishi kerak. Qaytarmasdan ikkita karta olinganda ikkalasi ham tuz boʻlish ehtimolligi $\frac{4}{52} \times \frac{3}{51} = \frac{12}{2652} = \frac{1}{221}$, chunki bitta tuz olingandan keyin 51 ta karta orasida faqat 3 ta tuz qoladi.

Shartli ehtimollik va Bayes teoremasi

Shartli ehtimollik — $B$ roʻy bergani maʼlum boʻlganda $A$ ning ehtimolligi, $P(A \mid B)$ deb yoziladi. $B$ ni bilish elementar hodisalar fazosini faqat $B$ gacha qisqartiradi:

Bayes teoremasi shartli ehtimollikni teskarisiga aylantirib, $P(B \mid A)$ dan $P(A \mid B)$ ni beradi. Uning eng mashhur qoʻllanishi tibbiy testning musbat natijasi nega eshitilganchalik qoʻrqinchli emasligini koʻrsatadi.

Matematik kutilma

Oʻyin yoki tasodifiy kattalikning matematik kutilmasi — uzoq muddatli oʻrtacha natija; u har bir natijani uning ehtimolligiga koʻpaytirib, qoʻshish orqali topiladi:

Faraz qiling, oʻyin zarda oltilik tushsa 10 dollar toʻlaydi, aks holda sizga 2 dollarga tushadi. Matematik kutilma $10 \cdot \frac{1}{6} - 2 \cdot \frac{5}{6} = \frac{10 - 10}{6} = 0$, demak, oʻyin adolatli: koʻp oʻynaganda siz zararsiz-foydasiz chiqishni kutasiz. Kazino oʻyinlari oʻyinchi uchun biroz manfiy matematik kutilma bilan tuziladi, shuning uchun alohida oʻyinchilar baʼzan yutsa ham, kazinolar millionlab tikishlarda foyda koʻradi. Sugʻurta ham xuddi shu tamoyil asosida, faqat teskari tomondan ishlaydi: sugʻurtachi badallar sifatida toʻlovlarga sarflashni kutganidan biroz koʻproq yigʻadi.

Keng tarqalgan tuzoqlar

• Qimorboz xatosi: halol ruletkada beshta qizildan keyin qora chiqishi «navbati» kelmagan. Har bir aylantirish bogʻliqmas, shuning uchun ehtimollik oʻzgarmaydi.
• Umumiy qismga ega hodisalar ehtimolliklarini umumiy qismni ayirmasdan qoʻshish, bu 1 dan katta ehtimolliklarga olib kelishi mumkin.
• Bogʻliqmas boʻlmagan hodisalar ehtimolliklarini koʻpaytirish.
• Tibbiy test misolidagidek $P(A \mid B)$ ni $P(B \mid A)$ bilan adashtirish.
• Tasodifiy mos kelishlarni past baholash: atigi 23 kishilik guruhda ikki kishining tugʻilgan kuni bir kunga toʻgʻri kelish ehtimolligi taxminan 50.7 foiz.

Katta sonlar qonuni ehtimollik aslida nimani vaʼda qilishini tushuntiradi: tajriba koʻp marta takrorlanganda hodisa roʻy berish ulushi uning ehtimolligiga yaqin barqarorlashadi. U qisqa natijalar ketma-ketligi haqida hech narsa vaʼda qilmaydi. Ehtimollik kalkulyatori yakka, birlashgan va shartli hodisalarni qadamlari bilan hisoblaydi, oʻrin almashtirish va guruhlash kalkulyatori esa koʻp ehtimollik masalalari uchun kerakli natijalarni sanaydi.

Koʻp bosqichli masalalar uchun daraxt diagrammalari

Tajriba bosqichma-bosqich kechganda daraxt diagrammasi har bir yoʻlni kuzatib boradi. Har bir shoxga uning ehtimolligi yoziladi, butun ketma-ketlik ehtimolligini olish uchun yoʻl boʻylab koʻpaytirasiz va kerakli hodisani tashkil etuvchi yoʻllarni qoʻshasiz.

Daraxt diagrammalari koʻpaytirish qoidasini koʻrgazmali qiladi va ehtimolliklar bosqichlar orasida qayerda oʻzgarishini aniq koʻrsatadi. Ular Bayes teoremasi masalasini tuzishning ham eng ishonchli usulidir, chunki ikkinchi bosqichning har bir shoxi shartli ehtimollikdir.

Koʻp beriladigan savollar