Z-ballar yechilgan misollar bilan tushuntirilgan

Z-ball nimani oʻlchaydi

Xom ballning oʻzi kam narsa aytadi. Testdan 85 ball olish yaxshi eshitiladi, ammo qolganlarning hammasi 95 ball olgan boʻlsa, bu aslida zaif natija. Standart ball deb ham ataladigan z-ball qiymatni oʻz guruhiga nisbatan oʻlchab, bu muammoni hal qiladi. U bitta savolga javob beradi: bu qiymat oʻrta qiymatdan necha standart chetlanish uzoqlikda?

Bu yerda $x$ — qiymat, $\mu$ — oʻrta qiymat, $\sigma$ esa standart chetlanish. Musbat z-ball qiymat oʻrta qiymatdan yuqori, manfiysi esa past ekanini, nol esa aynan oʻrtacha ekanini bildiradi. 2 ga teng z-ball oʻrta qiymatdan ikki standart chetlanish yuqori degani, bu koʻpchilik maʼlumotlar toʻplamida gʻayrioddiy yuqori. Standart chetlanishning oʻzini hisoblashni eslab olish kerak boʻlsa, standart chetlanishni qanday hisoblash maqolasiga qarang.

Z-ballni bosqichma-bosqich hisoblash

Birliklar doimo qisqaradi, chunki surat ham, maxraj ham dastlabki birliklarda oʻlchanadi. Aynan shu z-ballarni birliksiz va butunlay turli oʻlchovlar orasida solishtiriladigan qiladi.

Turli shkalalardagi natijalarni solishtirish

Z-ballarning eng amaliy qoʻllanishi — adolatli solishtirish. Faraz qiling, oʻquvchi oʻrta qiymati 75, standart chetlanishi 5 boʻlgan kimyo imtihonidan 82 ball, oʻrta qiymati 80, standart chetlanishi 8 boʻlgan tarix imtihonidan esa 88 ball oladi. Tarixdan baho yuqoriroq, lekin qaysi natija taassurotliroq?

Sinfdoshlarga nisbatan kimyo natijasi kuchliroq: oʻrtachadan 1.4 standart chetlanish yuqori, tarixda esa 1.0. Xuddi shu gʻoya olimlarga turli asboblardagi oʻlchovlarni solishtirish, tahlilchilarga esa kompaniya koʻrsatkichlarini odatiy qiymatlari juda farq qiladigan sohalar bilan solishtirish imkonini beradi.

Z-balldan orqaga qaytish

Formulani qayta tuzish berilgan z-ballga mos xom qiymatni beradi:

Oʻrta qiymati 70, standart chetlanishi 10 boʻlgan testda $-1.2$ z-ball $70 + (-1.2)(10) = 58$ ga mos keladi. Bu koʻrinish chegaralarni belgilashda foydali, masalan, quyidagi 4-misolda koʻrsatilganidek, oʻquvchi eng yaxshi 10 foizga kirishi uchun qanday xom ball kerakligini aniqlashda.

Z-ballardan protsentillarga

Maʼlumotlar normal taqsimotga, yaʼni qoʻngʻiroqsimon egri chiziqqa boʻysunganda z-ballni protsentilga, yaʼni undan past qiymatlar ulushiga aylantirish mumkin. Standart normal taqsimotning oʻrta qiymati 0, standart chetlanishi 1 va uning $\Phi(z)$ deb yoziladigan taqsimot funksiyasi shu ulushni beradi. Bir nechta muhim qiymatlarni eslab qolishga arziydi:

• $\Phi(0) = 0.5$: oʻrta qiymat 50-protsentilda turadi.
• $\Phi(1) \approx 0.8413$ va $\Phi(-1) \approx 0.1587$.
• $\Phi(1.5) \approx 0.9332$, demak, 1-misoldagi oʻquvchi sinfning taxminan 93 foizidan yuqori ball olgan.
• $\Phi(-0.8) \approx 0.2119$, demak, 2-misoldagi oʻquvchi taxminan 21-protsentilda.
• $\Phi(1.96) \approx 0.975$, shuning uchun 95 foizli ishonch oraliqlarida 1.96 paydo boʻladi.

Empirik qoida qoʻngʻiroqsimon egri chiziqni umumlashtiradi: qiymatlarning taxminan 68 foizi oʻrta qiymatdan bir standart chetlanish ichida, taxminan 95 foizi ikki, taxminan 99.7 foizi esa uch standart chetlanish ichida yotadi. Shuning uchun $|z| > 3$ boʻlgan qiymatlar kam uchraydi va koʻpincha ehtimoliy chetga chiquvchi qiymatlar sifatida tekshiriladi.

Tanlanma oʻrta qiymatlari uchun z-ballar

Oʻrtachalar alohida qiymatlarga qaraganda kamroq oʻzgaradi. Agar oʻrta qiymati $\mu$ va standart chetlanishi $\sigma$ boʻlgan bosh toʻplamdan $n$ hajmli tanlanmalar olinsa, tanlanma oʻrta qiymatining standart chetlanishi $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ boʻladi va u standart xato deyiladi. Tanlanma oʻrta qiymatining z-bali quyidagicha

Masalan, yuqoridagi testdan 25 oʻquvchining oʻrtachasi 73 boʻlsa, standart xato $\frac{10}{\sqrt{25}} = 2$ va $z = \frac{73 - 70}{2} = 1.5$. Uch ballik oʻsish bitta oʻquvchi uchun oddiy, ammo 25 oʻquvchining oʻrtachasi uchun sezilarli darajada gʻayrioddiy. Bu formula kirish statistikasidagi z-testlar va ishonch oraliqlarining boshlangʻich nuqtasidir.

Z-ballardan foydalanishda ehtiyot choralari

• Z-ballarni $\Phi$ yordamida protsentillarga aylantirish faqat maʼlumotlar taxminan normal boʻlganda toʻgʻri. Daromadlar kabi kuchli asimmetrik maʼlumotlarda protsentillar maʼlumotlarning oʻzidan olinishi kerak.
• Bosh toʻplamning standart chetlanishi maʼlum boʻlsa, undan, aks holda baho sifatida tanlanmaning standart chetlanishidan foydalaning; kichik tanlanmalar uchun esa Styudent t-taqsimoti kerak.
• Z-ball bitta guruh ichidagi oʻrinni tavsiflaydi. Tayyorgarlik darajasi juda farq qiladigan guruhlarning z-ballarini solishtirish baribir chalgʻitishi mumkin.
• Ishorani saqlang. $-2$ va $2$ z-ballar bir xil darajada gʻayrioddiy, ammo qarama-qarshi maʼnoni anglatadi.

Z-ball kalkulyatori z-ballar, protsentillar va ikki qiymat orasidagi yuzani hisoblaydi, standart chetlanish kalkulyatori esa avval kerak boʻladigan oʻrta qiymat va standart chetlanishni beradi.

Z-ballar amalda qayerda uchraydi

Standartlashtirilgan test hisobotlari koʻpincha xom baholarni z-ball bilan bir xil gʻoyaga asoslangan shkalalangan ballar yoki protsentillarga aylantiradi. Pediatrlar bolaning boʻyi va vaznini oʻsish jadvallari bilan kuzatadi va baʼzi klinik vositalar bu oʻlchovlarni bevosita bolaning yoshi uchun z-ballar sifatida beradi. Suyak zichligini tekshirish T-ball beradi, bu sogʻlom yosh kattalarga nisbatan oʻlchangan z-balldir. Sifat muhandislari oʻlchovlari maqsaddan uch standart chetlanishdan koʻproq ogʻgan detallarni belgilaydi, moliya tahlilchilari esa xavf darajasi turlicha boʻlgan fondlarni bitta shkalada solishtirish uchun daromadliliklarni standartlashtiradi.

Mashqlar

1. Maʼlumotlar toʻplamining oʻrta qiymati 50, standart chetlanishi 4. 56 ning z-balini toping. Javob: $z = \frac{56 - 50}{4} = 1.5$.
2. Ballarning oʻrta qiymati 100, standart chetlanishi 15. Qaysi ball uchun $z = -2$? Javob: $100 + (-2)(15) = 70$.
3. Qiymatlar oʻrta qiymati 500, standart chetlanishi 100 boʻlgan normal taqsimotga ega. Ularning qanday ulushi 650 dan past? Javob: $z = 1.5$, demak, taxminan $\Phi(1.5) \approx 0.9332$, yaʼni 93 foiz.

Koʻp beriladigan savollar