Standart chetlanish kalkulyatori

Standart chetlanish kalkulyatori haqida

Standart chetlanish maʼlumotlar qiymatlari oʻz oʻrta qiymati atrofida qanchalik tarqoq ekanini oʻlchaydi. Kichik standart chetlanish qiymatlar oʻrtachaga yaqin joylashganini, kattasi esa ular keng sochilganini bildiradi.

Maʼlumotlaringiz sizni qiziqtirgan guruhning har bir aʼzosini oʻz ichiga olsa, bosh toʻplam formulasidan, maʼlumotlar kattaroq bosh toʻplamni baholash uchun olingan tanlanma boʻlsa, $n-1$ ga boʻladigan tanlanma formulasidan foydalaning.

Standart chetlanish nimani oʻlchaydi?

Standart chetlanish sonlar toʻplami oʻz oʻrta qiymati atrofida qanchalik tarqoq ekanini oʻlchaydi. Kichik standart chetlanish qiymatlar oʻrtachaga yaqin turganini, kattasi esa ular keng sochilganini bildiradi. Ikki sinf testdan oʻrtacha 70 ball olgan boʻlishi mumkin, biroq bir sinfda standart chetlanish 3, ikkinchisida esa 15 boʻlsa, birinchi guruh barqaror natija koʻrsatgan, ikkinchisida esa natijalar qiynalganlardan aʼlochilargacha farq qilgan.

U chetlanishlardan, yaʼni har bir qiymatning oʻrta qiymatdan masofasidan hisoblanadi. Bu chetlanishlar yigʻindisi har doim nolga teng, shuning uchun ular oʻrtachasi olinishidan oldin kvadratga koʻtariladi, bu esa dispersiyani beradi. Dispersiyadan kvadrat ildiz chiqarish natijani dastlabki oʻlchov birliklariga qaytaradi, shuning uchun santimetrdagi boʻylar standart chetlanishi ham santimetrda ifodalanadi.

Standart chetlanish kalkulyatoridan qanday foydalanish kerak

Sonlarni vergul, boʻsh joy yoki yangi qator bilan ajratib kiriting yoki joylashtiring.
“Tanlanma” yoki “Bosh toʻplam” turini tanlang.
Oʻrta qiymat, chetlanishlar kvadratlari, dispersiya va standart chetlanishni koʻrish uchun “Hisoblash” tugmasini bosing.

Formulalar

Bosh toʻplam standart chetlanishi

\sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \mu)^2}{N}}

Tanlanma standart chetlanishi

s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}}

Dispersiya

\sigma^2,\ s^2 = (\text{standart chetlanish})^2

Yechib koʻrsatilgan misol: 4, 8, 6, 5, 3, 7 (tanlanma)

Ishlangan misolda 4, 8, 6, 5, 3, 7 tanlanma sifatida qaraladi. Oʻrta qiymat $\frac{33}{6} = 5.5$ . Chetlanishlar $-1.5, 2.5, 0.5, -0.5, -2.5, 1.5$ , ularning kvadratlari yigʻindisi esa 17.5. $n - 1 = 5$ ga boʻlish tanlanma dispersiyasi 3.5 ni beradi, uning kvadrat ildizi esa tanlanma standart chetlanishi $s \approx 1.870828693$ . Taqqoslash uchun, ayni oltita sonni toʻliq bosh toʻplam deb qarasak, 6 ga boʻlinadi va $\sigma \approx 1.707825128$ hosil boʻladi.

Quyidagi yechim yuqoridagi kalkulyatorni ishlatadigan oʻsha hisoblash mexanizmi tomonidan tuzilgan.

Yakuniy javob

s = 1.870828693

Masalangizni qanday tushundik

Maʼlumotlarni kattaroq bosh toʻplamdan olingan tanlanma deb qarash (Bessel tuzatmasi, n − 1) ga boʻlish.

Bosqichma-bosqich yechim

Oʻrta qiymatni topish
$\bar{x} = \frac{33}{6} = 5.5$
Har bir chetlanishni oʻrta qiymatdan kvadratga koʻtarish
$(4 - 5.5)^2 = 2.25 \\ (8 - 5.5)^2 = 6.25 \\ (6 - 5.5)^2 = 0.25 \\ (5 - 5.5)^2 = 0.25 \\ (3 - 5.5)^2 = 6.25 \\ (7 - 5.5)^2 = 2.25$
Chetlanishlar kvadratlarini qoʻshish
$\sum (x_i - \bar{x})^2 = 17.5$
Tanlanma dispersiyasini olish uchun n − 1 ga boʻlish
$s^2 = \frac{17.5}{5} = 3.5$
Kvadrat ildiz chiqaring
$s = \sqrt{3.5} = 1.870828693$

Qoʻllanilgan formulalar

Tanlanma standart chetlanishi
$s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}}$
Bosh toʻplam standart chetlanishi
$\sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \mu)^2}{n}}$

Standart chetlanish qiymatlar oʻrta qiymat atrofida qanchalik tarqoqligini oʻlchaydi. Kichik qiymat maʼlumotlar oʻrta qiymat yaqinida toʻplanganini bildiradi.

Tekshiruv

Dispersiya = 3.5, va 1.870828693² = 3.5
Taqqoslash uchun bosh toʻplam standart chetlanishi: 1.707825128

Batafsil tushuntirish

Amalda tanlanma va bosh toʻplam

Ikki formula faqat boʻluvchi bilan farq qiladi, ammo kichik maʼlumotlar toʻplamlarida tanlov muhim. Agar sonlar sizni qiziqtirgan guruhning barcha aʼzolari boʻlsa, masalan, bitta sinfdagi barcha 25 oʻquvchining ballari, $N$ li bosh toʻplam formulasidan foydalaning. Agar ular kattaroq guruhning tarqoqligini baholash uchun olingan tanlanma boʻlsa, masalan, butun maktabdan tanlangan 25 oʻquvchi, $n - 1$ li tanlanma formulasidan foydalaning. Kalkulyatordagi ikkinchi misol — bosh toʻplam sifatida olingan 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 — oʻrta qiymati 5 ga, chetlanishlar kvadratlari yigʻindisi esa 32 ga teng, shuning uchun $\sigma = \sqrt{\frac{32}{8}} = 2$ .

Sonni talqin qilish

Taqsimoti taxminan qoʻngʻiroqsimon boʻlgan maʼlumotlar uchun empirik qoidaga koʻra qiymatlarning taxminan 68% i oʻrta qiymatdan bir standart chetlanish, taxminan 95% i ikki va taxminan 99.7% i uch standart chetlanish oraligʻida yotadi. Shuning uchun oʻrta qiymatdan ikki standart chetlanishdan koʻproq uzoqlashgan qiymat gʻayrioddiy hisoblanadi. Qiymatning oʻrta qiymatdan masofasini standart chetlanishga boʻlish uning z-ballini beradi; bu test bali va yugurish vaqti kabi turli shkalalarda oʻlchangan natijalarni solishtirish imkonini beradi.

Chetlanishlar kvadratga koʻtarilgani sababli standart chetlanish chetga chiqqan qiymatlarga sezgir, shuning uchun bitta keskin qiymat uni ancha oshirib yuborishi mumkin. Kuchli ogʻgan maʼlumotlar uchun kvartillararo qamrov koʻpincha tarqoqlikni yaxshiroq ifodalaydi.

Koʻp uchraydigan xatolar

Tanlanma uchun $n - 1$ oʻrniga $n$ dan foydalanish — bu tarqoqlikni kamaytirib koʻrsatadi.
Chetlanishlarni kvadratga koʻtarishni unutish — shunda musbat va manfiylari qisqarib, nol chiqadi.
Savolda standart chetlanish soʻralganda dispersiyani javob sifatida keltirish.
Chetlanishlarni hisoblashdan oldin oʻrta qiymatni yaxlitlash — bu har bir kvadrat hadni siljitadi.
Oxirgi kvadrat ildizni unutib, dispersiyani standart chetlanish deb koʻrsatish.

Maslahatlar

Taxminan qoʻngʻiroqsimon maʼlumotlarda qiymatlarning taxminan 68% i oʻrta qiymatdan bir standart chetlanish oraligʻida yotadi.
Standart chetlanish maʼlumotlar bilan bir xil birlikda, dispersiya esa kvadrat birliklarda ifodalanadi.
Har bir qiymatga oʻzgarmas son qoʻshish standart chetlanishni oʻzgartirmaydi.
Har bir qiymatga oʻzgarmas son qoʻshsangiz, standart chetlanish oʻzgarmaydi; har bir qiymatni $k$ ga koʻpaytirsangiz, u $|k|$ ga koʻpayadi.
Bitta qiymat oʻrta qiymatdan necha standart chetlanish uzoqlikda ekanini koʻrish uchun z-ball kalkulyatoridan foydalaning.

Koʻp beriladigan savollar

Standart chetlanish nima?

Bu oʻrta qiymatdan masofalar kvadratlarining oʻrtachasidan olingan kvadrat ildiz. U odatiy qiymat oʻrtachadan qanchalik uzoqda joylashganini koʻrsatadi.

Tanlanmadan yoki bosh toʻplamdan foydalanishim kerakmi?

Butun guruh boʻyicha maʼlumotlaringiz boʻlsa, bosh toʻplamdan foydalaning. Maʼlumotlaringiz kattaroq guruhni tavsiflash uchun olingan qism boʻlsa, tanlanmadan foydalaning; bu koʻproq uchraydigan holat.

Nega tanlanma formulasida n − 1 ga boʻlinadi?

Tanlanma oʻrta qiymati tanlanma qiymatlariga haqiqiy oʻrta qiymatdan koʻra yaqinroq boʻladi, bu esa chetlanishlarni kichraytiradi. $n-1$ ga boʻlish (Bessel tuzatmasi) buni qoplaydi va dispersiyaning siljimagan bahosini beradi.

Standart chetlanish nolga teng boʻlishi mumkinmi?

Ha, aynan barcha qiymatlar bir xil boʻlganda. U hech qachon manfiy boʻlmaydi.

Menga nechta qiymat kerak?

Bosh toʻplam standart chetlanishi uchun bitta qiymat yetarli (u 0 ga teng). Tanlanma formulasi kamida ikkita qiymatni talab qiladi.

Dispersiya va standart chetlanishning farqi nimada?

Dispersiya — chetlanishlar kvadratlarining oʻrtachasi; standart chetlanish esa undan olingan kvadrat ildiz boʻlib, oʻlchovni maʼlumotlar birliklariga qaytaradi.

Qanday standart chetlanish yaxshi yoki yuqori hisoblanadi?

Universal chegara yoʻq; bu maʼlumotlar shkalasiga bogʻliq. Tarqoqlik odatiy qiymatlarga nisbatan kattami yoki yoʻqligini baholash uchun uni oʻrta qiymat bilan solishtiring yoki $\frac{s}{\bar x}$ variatsiya koeffitsientidan foydalaning.

Chetga chiqqan qiymat standart chetlanishga qanday taʼsir qiladi?

Kuchli taʼsir qiladi, chunki har bir chetlanish kvadratga koʻtariladi. Misoldagi 7 ni 70 ga almashtirish tanlanma standart chetlanishini taxminan 1.87 dan 26 dan ortiq qiymatgacha oshiradi.

Maʼlumotlaringiz tarqoqligini toping

Yuqoriga sonlaringizni joylashtiring, tanlanma yoki bosh toʻplamni tanlang va har bir qadami bilan oʻrta qiymat, dispersiya hamda standart chetlanishni oling.

Kalkulyatordan foydalanish SI matematika yechuvchisidan soʻrash