Statistika

Oʻrta qiymat, mediana, moda va standart chetlanish: toʻliq qoʻllanma

Muallif: MathSolver Pro Editorial Team · Chop etilgan 25-oktabr, 2026

Oʻrta qiymat, mediana va moda maʼlumotlar toʻplamining markazini, kenglik va standart chetlanish esa uning qanchalik tarqoqligini tavsiflaydi. Har birini hisoblash va qaysi biri qachon halol xulosa berishini bilish statistikaning poydevoridir.

Markaz va tarqoqlik: ikki katta savol

Sonlar roʻyxatini bir qarashda tushunish qiyin. Statistika uni ikki savolga javob berib umumlashtiradi. Maʼlumotlarning oʻrtasi qayerda? Va qiymatlar odatda bu oʻrtadan qanchalik uzoqlashadi? Markaziy tendensiya koʻrsatkichlari — oʻrta qiymat, mediana va moda — birinchi savolga javob beradi. Kenglik, kvartillararo kenglik va standart chetlanish kabi tarqoqlik koʻrsatkichlari ikkinchisiga javob beradi.

Sizga ikkalasi ham kerak. Ikki sinfning test boʻyicha oʻrtacha bali bir xil boʻlishi mumkin, ammo birida hamma oʻrtachaga yaqin ball olgan, ikkinchisida esa ballar yiqilishdan mukammalgacha tarqalgan. Faqat markaz bu farqni yashiradi, faqat tarqoqlik esa sinf umuman qanday natija koʻrsatgani haqida hech narsa demaydi.

Oʻrta qiymat

Oʻrta qiymat, yaʼni oʻrta arifmetik — qiymatlar yigʻindisining ularning soniga nisbati. $x_1, x_2, \ldots, x_n$ maʼlumotlar toʻplami uchun:

\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i

1-misol: sakkizta test balining oʻrta qiymati

Ballar: 72, 85, 90, 85, 68, 95, 85, 77.
Yigʻindi: $72 + 85 + 90 + 85 + 68 + 95 + 85 + 77 = 657$ .
Oʻrta qiymat: $\frac{657}{8} = 82.125$ .

Oʻrta qiymat har bir qiymatdan foydalanadi, bu uni samarali, ammo sezgir ham qiladi. Bitta keskin qiymat, yaʼni chetga chiquvchi qiymat, uni ancha uzoqqa tortishi mumkin. Vaznli oʻrta qiymat baʼzi qiymatlarga boshqalariga qaraganda koʻproq taʼsir beradi. Agar yakuniy imtihon bahoning 60 foizini, kurs ishlari esa 40 foizini tashkil etsa, 80 va 90 ballar oddiy oʻrtacha 85 ni emas, $0.6(80) + 0.4(90) = 84$ ni beradi.

Mediana

Mediana — maʼlumotlar tartiblangandan keyingi oʻrtadagi qiymat. Qiymatlar soni toq boʻlsa, u yagona oʻrta qiymat; juft boʻlsa, ikki oʻrta qiymatning oʻrta arifmetigi.

2-misol: oʻsha ballarning medianasi

Ballarni tartiblang: 68, 72, 77, 85, 85, 85, 90, 95.
Qiymatlar 8 ta, shuning uchun oʻrtadagi juftlik 4- va 5-qiymatlar: 85 va 85.
Mediana: $\frac{85 + 85}{2} = 85$ .

Mediana keskin qiymatlarning oʻrtadan qanchalik uzoqligiga eʼtibor bermaydi, bu uni chetga chiquvchi qiymatlarga chidamli qiladi. Faraz qiling, besh kishi yiliga 30, 35, 40, 45 va 50 ming dollar ishlab topadi. Oʻrta qiymat ham, mediana ham 40 ming. Agar guruhga yiliga 1,000 ming dollar topadigan oltinchi kishi qoʻshilsa, oʻrta qiymat 200 minggacha sakraydi — bu yangi kelgandan boshqa har kimning daromadidan koʻp, mediana esa atigi 42.5 minggacha siljiydi. Shuning uchun uy narxlari va daromadlar odatda mediana bilan beriladi.

Moda

Moda — eng koʻp uchraydigan qiymat. Test ballarida 85 uch marta uchraydi, shuning uchun moda 85 ga teng. Maʼlumotlar toʻplami bitta modaga, ikkita modaga (bimodal), bir nechtasiga ega boʻlishi yoki har bir qiymat aynan bir marta uchrasa, umuman modaga ega boʻlmasligi mumkin.

Moda kategorial maʼlumotlar uchun ishlaydigan yagona markaz koʻrsatkichidir. Sevimli ranglar yoki poyabzal brendlarining oʻrtachasini olib boʻlmaydi, ammo qaysi biri eng ommabopligini aytish mumkin. Sonli maʼlumotlarda moda qiymatlar tez-tez takrorlanganda eng foydali, masalan, doʻkon savdo yozuvlaridagi poyabzal oʻlchamlarida eng keng tarqalgan oʻlcham xaridorga aynan kerakli maʼlumotdir.

Qaysi oʻrtachadan foydalanish kerak?

Keskin chetga chiquvchi qiymatlarsiz, taxminan simmetrik maʼlumotlar uchun, masalan, boʻy uzunliklari yoki oʻlchash xatolari uchun oʻrta qiymatdan foydalaning.
Asimmetrik yoki chetga chiquvchi qiymatlari bor maʼlumotlar uchun, masalan, daromadlar, uy narxlari yoki kutish vaqtlari uchun medianadan foydalaning.
Kategoriyalar yoki eng keng tarqalgan tanlov muhim boʻlgan diskret qiymatlar uchun modadan foydalaning.

Oʻrta qiymat va medianani solishtirish maʼlumotlar shakli haqida ham xabar beradi. Oʻrta qiymat medianadan sezilarli katta boʻlsa, yuqori qiymatlarning uzun dumi uni yuqoriga tortayotgan boʻladi va maʼlumotlar oʻngga asimmetrik. Oʻrta qiymat kichikroq boʻlsa, maʼlumotlar chapga asimmetrik. Test ballarida 82.1 ga teng oʻrta qiymat 85 ga teng medianadan past, chunki bir nechta past ball oʻrta qiymatni pastga tortadi.

Tarqoqlikni oʻlchash: kenglik va standart chetlanish

Tarqoqlikning eng oddiy koʻrsatkichi — kenglik, yaʼni eng katta qiymatdan eng kichigining ayirmasi. Test ballari uchun u $95 - 68 = 27$ ball. Kenglikni hisoblash oson, ammo u butunlay eng keskin ikki qiymatga bogʻliq. Maʼlumotlarning oʻrta yarmining tarqoqligi boʻlgan kvartillararo kenglik ancha barqarorroq.

Standart chetlanish — tarqoqlikning eng keng qoʻllaniladigan koʻrsatkichi. U taxminan qiymatning oʻrta qiymatdan odatiy uzoqligidir. Butun bosh toʻplam uchun u quyidagicha:

\sigma = \sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i - \mu)^2}

3-misol: standart chetlanishni qoʻlda hisoblash

Maʼlumotlar: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9. Oʻrta qiymat $\frac{40}{8} = 5$ .
Oʻrta qiymatdan chetlanishlar: $-3, -1, -1, -1, 0, 0, 2, 4$ .
Chetlanishlar kvadratlari: $9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16$ , ularning yigʻindisi 32.
Bosh toʻplam dispersiyasi: $\frac{32}{8} = 4$ , demak, bosh toʻplamning standart chetlanishi $\sigma = 2$ .
Agar maʼlumotlar tanlanma boʻlsa, uning oʻrniga $n - 1 = 7$ ga boʻling: $s = \sqrt{\frac{32}{7}} \approx 2.14$ .

$n$ ga va $n - 1$ ga boʻlish orasidagi farq va uning nega muhimligi standart chetlanishni qanday hisoblash maqolasida batafsil tushuntirilgan.

Koʻrsatkichlarni birlashtirish

Maʼlumotlar toʻplamining yaxshi tavsifi bir-biriga mos markaz va tarqoqlikni beradi. Oʻrta qiymat tabiiy ravishda standart chetlanish bilan juftlashadi, chunki ikkalasi ham har bir qiymatdan foydalanadi va ikkalasi ham chetga chiquvchi qiymatlarga sezgir. Mediana kvartillararo kenglik bilan juftlashadi, chunki ikkalasi ham chidamli. Medianani standart chetlanish bilan birga berish ikki xil yondashuvni aralashtiradi va chalgʻitishi mumkin.

Taxminan qoʻngʻiroqsimon maʼlumotlar uchun oʻrta qiymat va standart chetlanish hayratlanarli darajada toʻliq manzara beradi: qiymatlarning taxminan 68 foizi oʻrta qiymatdan bir standart chetlanish ichida, taxminan 95 foizi esa ikki standart chetlanish ichida yotadi. Qiymatning oʻrta qiymatdan uzoqligini standart chetlanishlarda oʻlchash aynan z-ball bajaradigan ishdir. Oʻrta qiymat, mediana va moda kalkulyatori ushbu maqoladagi barcha koʻrsatkichlarni qoʻyilgan roʻyxatdan hisoblaydi, standart chetlanish kalkulyatori esa tarqoqlik hisobining har bir qadamini koʻrsatadi.

Kvartillar va kvartillararo kenglik

Kvartillar tartiblangan maʼlumotlarni toʻrtta teng qismga ajratadi. Oddiy usul — har bir yarmining medianasini topish. Tartiblangan test ballarida pastki yarim 68, 72, 77, 85, shuning uchun birinchi kvartil $\frac{72 + 77}{2} = 74.5$ . Yuqori yarim 85, 85, 90, 95, shuning uchun uchinchi kvartil $\frac{85 + 90}{2} = 87.5$ . Kvartillararo kenglik $87.5 - 74.5 = 13$ ball, bu sinfning oʻrta yarmi kengligi.

Turli darsliklar va dasturlar kvartillarni biroz farqli qoidalar bilan hisoblaydi, shuning uchun javoblar orasidagi kichik farqlar normal holat va xato belgisi emas. Keng tarqalgan qoidaga koʻra, birinchi kvartildan 1.5 kvartillararo kenglikdan koʻproq pastda yoki uchinchisidan shuncha yuqorida yotgan har qanday qiymat ehtimoliy chetga chiquvchi qiymat deb belgilanadi. Bu yerda chegaralar 55 va 107, shuning uchun ballarning hech biri gʻayrioddiy emas.

Koʻp beriladigan savollar

Oʻrta qiymat, mediana va moda bir xil boʻlishi mumkinmi?

Ha. Ideal qoʻngʻiroqsimon egri chiziq kabi bitta choʻqqili mukammal simmetrik taqsimotda uchalasi ustma-ust tushadi. Haqiqiy maʼlumotlarda ular odatda yaqin, lekin bir xil emas.

Maʼlumotlar toʻplamida moda boʻlmasa-chi?

Agar har bir qiymat aynan bir marta uchrasa, moda yoʻq. Baʼzi darsliklar buning oʻrniga har bir qiymat moda deydi, ammo moda yoʻq deb aytish keng tarqalgan kelishuvdir.

Nega daromad oʻrta qiymat bilan emas, mediana bilan beriladi?

Daromadlar kuchli oʻngga asimmetrik: juda yuqori daromadli oz sonli odamlar oʻrta qiymatni odatiy odam topadigan summadan ancha yuqoriga tortadi. Mediana eng yuqori daromadlar qanchalik keskinligiga bogʻliq emas, shuning uchun u odatiy odamni yaxshiroq ifodalaydi.

Standart chetlanish manfiy boʻlishi mumkinmi?

Yoʻq. U masofalar kvadratlari oʻrtachasining kvadrat ildizi, shuning uchun doimo nol yoki musbat. U faqat barcha qiymatlar bir xil boʻlganda nolga teng.

MathSolver Pro Editorial Team

Matematik kontent va tekshiruv

Tahririyatimiz har bir qoʻllanmani faqat javobni emas, balki har bir usul ortidagi mulohazani tushuntiradigan qilib yozadi. Har bir yechilgan misol eʼlon qilinishidan oldin saytning oʻz yechuvchi dvigatellari va avtomatlashtirilgan testlar bilan tekshiriladi, usul yoki imtihon formati oʻzgarganda esa maqolalar qayta koʻrib chiqiladi.