المتتاليات والمتسلسلاتالجبرالجامعة≈ 3:06

أوجد قيمة مجموع (-1)ⁿ/n من n=1 إلى ∞

درس متحرك خطوة بخطوة. اضغط تشغيل لمشاهدة كل خطوة مع الترجمة النصية، أو اقرأ الخطوات والنص أدناه. الإجابة: المتسلسلة تقاربية شرطياً (اختبار المتسلسلة المتناوبة); المجموع ≈ -0.6931471806 (يطابق −ln(2) لأكثر من 10 أرقام).

السرعةاللغة

الفصول

النص

فيديو مسجل: الصوت والكتابة في الصورة باللغة الإنجليزية. الترجمة: العربية. للحصول على التعليق الصوتي بهذه اللغة، افتح النسخة التفاعلية.

فيديو باللغة الإنجليزية: تنزيل MP4 (1.1 MB) · الترجمة (WebVTT): العربية · ترجمة مصاحبة باللغة الإنجليزية (WebVTT)

الخطوات على الشاشة

1. المسألة
مثال محلول
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{{\left(-1\right)}^{n}}{n}$
2. الخطوات، الجزء 1
1. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{{\left(-1\right)}^{n}}{n}$
  اكتب المتسلسلة
2. $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0$
  اختبار الحد النوني
3. اختبار المتسلسلة المتناوبة
4. $\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1/n} = 1$
  المقارنة النهائية مع متسلسلة p
3. الخطوات، الجزء 2
1. تقارب مطلق أم مشروط؟
2. قدّر المجموع عدديًا
4. الإجابة
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{{\left(-1\right)}^{n}}{n} \ \text{تتقارب تقاربًا مشروطًا} \approx -0.6931471806$
alternating series test ⇒ converges conditionally, S ≈ -0.6931471806 (matches −ln(2) to 10+ digits)
5. التحقق
- المجاميع الجزئية (دليل داعم، لا برهان): S₁₀ = -0.64563492، S₁₀₀ = -0.68817218، S₁₀₀₀ = -0.69264743، S₁₀₀₀₀ = -0.69309718

النص الكامل

المسألة. إليك المسألة: أوجد قيمة مجموع (سالب 1) أس n/n من n يساوي 1 إلى ما لا نهاية. حدّد هل المتسلسلة Σ (سالب 1) أس n / n (n من 1 إلى ∞) تتقارب أم تتباعد.

الخطوات، الجزء 1. اكتب المتسلسلة. Σ a(n) حيث n يساوي 1, 2, 3، … مع a(n) يساوي (سالب 1) أس n / n. الحدود الأولى: سالب 1, 0.5, سالب 0.333333, 0.25، …. اختبار الحد النوني. lim |a(n)| يساوي 0، لذا فاختبار التباعد غير حاسم؛ فالحدود تتناقص فعلًا، ولذلك يلزم اختبار أدق. اختبار المتسلسلة المتناوبة. تتناوب الإشارات وتتناقص القيم المطلقة b(n) يساوي 1 / n (تم التحقق على 310 دليلًا حتى 10 أس 6) وتؤول إلى 0، لذا تتقارب المتسلسلة. المقارنة النهائية مع متسلسلة p. القيم المطلقة Σ 1 / n: تتناقص الحدود تقريبًا مثل 1/n (تقدير من a(2N)/a(N))، لذا نقارن مع Σ 1/n: lim a(n) ضرب n يساوي 1. والنهاية عدد موجب منتهٍ، لذا تسلك المتسلسلة تمامًا مثل متسلسلة p ‏Σ 1/n، التي تتباعد لأن p أصغر من أو يساوي 1.

الخطوات، الجزء 2. تقارب مطلق أم مشروط؟. Σ |a(n)| تتباعد (مقارنة نهائية مع Σ 1/n)، لذا تتقارب المتسلسلة تقاربًا مشروطًا فقط. قدّر المجموع عدديًا. حُسبت المجاميع الجزئية S N لعدة قيم N واستُكملت إلى N → ∞ (استكمال ريتشاردسون؛ تُؤخذ أولًا المتوسطات للحدود المتناوبة). يتفق استكمالان مستقلان بدقة أفضل من 10 أس ناقص 10، ويعطيان S تقريبًا سالب 0.6931471806. أي صيغة مغلقة معروضة هي مطابقة عددية وليست برهانًا.

الإجابة. إذن الإجابة هي المتسلسلة تقاربية شرطياً (اختبار المتسلسلة المتناوبة); المجموع تقريبًا سالب 0.6931471806 (يطابق سالب ln(2) لأكثر من 10 أرقام). تتقارب المتسلسلة حين تقترب مجاميعها الجزئية من عدد منتهٍ. ولكي يحدث ذلك يجب أن تؤول الحدود إلى 0، لكن هذا وحده لا يكفي (فالمتسلسلة التوافقية تتباعد)، لذا يُستخدم للحسم اختبار المقارنة أو النسبة أو الجذر أو المتسلسلة المتناوبة أو التكامل.

التحقق. المجاميع الجزئية (دليل داعم، لا برهان): S₁₀ يساوي سالب 0.64563492، S₁₀₀ يساوي سالب 0.68817218، S₁₀₀₀ يساوي سالب 0.69264743، S₁₀₀₀₀ يساوي سالب 0.69309718.

الخطوات على الشاشة

النص الكامل

دروس مشابهة