Satz des PythagorasGeometrieMittelstufe≈ 1:31

Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Hypotenuse 13 und eine Kathete 5. Bestimme die andere Kathete

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Originalaufgabe (Englisch): Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Hypotenuse 13 und eine Kathete 5. Bestimme die andere Kathete

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Schritte auf dem Bildschirm

1. Die Aufgabe
Musterlösung
Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Hypotenuse 13 und eine Kathete 5. Bestimme die andere Kathete
2. Schritte, Teil 1
1. $a^2 + b^2 = c^2 \;\Rightarrow\; b^2 = c^2 - a^2$
  Satz des Pythagoras nach einer Kathete umstellen
2. $b^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$
  Einsetzen und vereinfachen
3. $b = \sqrt{144} = 12$
  Die positive Quadratwurzel ziehen
4. $\text{Flächeninhalt} = \tfrac12ab \approx 30,\qquad P = a + b + c \approx 30$
  Flächeninhalt und Umfang
3. Schritte, Teil 2
1. $\angle A = \arctan\frac{a}{b} \approx 22.619865^\circ,\qquad \angle B = 90^\circ - \angle A \approx 67.380135^\circ$
  Spitze Winkel
4. Die Antwort
$b = 12$
b = 12
5. Probe
- Prüfung: a² + b² = 169 und c² = 169, was übereinstimmt.
- (5, 12, 13) ist ein pythagoreisches Tripel: Alle drei Seiten sind ganze Zahlen.
- Winkelsumme: 90° + 22.619865° + 67.380135° = 180°.

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Hypotenuse 13 und eine Kathete 5. Bestimme die andere Kathete. Bestimme die fehlende Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks aus der anderen Kathete und der Hypotenuse.

Schritte, Teil 1. Satz des Pythagoras nach einer Kathete umstellen. Einsetzen und vereinfachen. Die positive Quadratwurzel ziehen. Flächeninhalt und Umfang.

Schritte, Teil 2. Spitze Winkel. Winkel A liegt der Kathete a gegenüber und Winkel B liegt der Kathete b gegenüber; der rechte Winkel C ist 90°.

Die Antwort. Die Antwort lautet also b gleich 12; Flächeninhalt gleich 30; Umfang ungefähr 30; Winkel ungefähr 22.619865°, 67.380135°, 90°. In jedem rechtwinkligen Dreieck entspricht das Quadrat über der Hypotenuse der Summe der Quadrate über den beiden Katheten. Die Kenntnis zweier Seiten legt die dritte fest, und die Winkel folgen aus dem Tangensverhältnis.

Probe. Prüfung: a hoch zwei plus b hoch zwei gleich 169 und c hoch zwei gleich 169, was übereinstimmt. (5, 12, 13) ist ein pythagoreisches Tripel: Alle drei Seiten sind ganze Zahlen. Winkelsumme: 90° plus 22.619865° plus 67.380135° gleich 180°.

Schritte auf dem Bildschirm

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